Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones

f(x) = x^3 - 5x

g(x) = -x

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Área} = 8\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero buscamos dónde se cortan las gráficas, resolviendo

f(x) = g(x)

: esos puntos son los límites de integración. Entre cada dos cortes consecutivos una función va por encima de la otra; integramos la diferencia en cada tramo por separado (regla de Barrow) y sumamos los valores absolutos, porque en un tramo la diferencia es negativa.

Desarrollo

Puntos de corte.

f(x) - g(x) = x^3 - 5x + x = x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2,\ x = 0,\ x = 2

El recinto tiene dos partes: una entre

-2

0

y otra entre

0

2

.

Qué función va por encima. Probamos un valor en cada tramo de

h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 4x

En $(-2, 0)$ : $h(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ , así que $f$ va por encima de $g$ .
En $(0, 2)$ : $h(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ , así que $g$ va por encima de $f$ .

Integrales. Una primitiva de

h

H(x) = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2

. Por la regla de Barrow:

\int_{-2}^{0}(x^3 - 4x)\,dx = H(0) - H(-2) = 0 - (4 - 8) = 4

\int_{0}^{2}(x^3 - 4x)\,dx = H(2) - H(0) = (4 - 8) - 0 = -4

La segunda es negativa porque en ese tramo

g

está por encima: tomamos su valor absoluto.

\text{Área} = |4| + |-4| = 8\ \text{u}^2

Comprobación por simetría.

h(x) = x^3 - 4x

es impar, así que los dos trozos del recinto son simétricos respecto del origen y tienen la misma área:

2\cdot 4 = 8

✓. Por eso

\int_{-2}^{2}h(x)\,dx = 0

: integrar de

-2

2

de un tirón daría un área nula, que es absurdo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es integrar $f - g$ directamente de $-2$ a $2$ : sale $0$ porque los dos trozos se compensan. Siempre que haya tres o más puntos de corte, parte la integral en cada tramo.

Termina con las unidades: el área se da en unidades cuadradas ( $\text{u}^2$ ).