Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Hallar una primitiva

F(x)

de la función

f(x) = (2x + 5)\cdot e^{-2x}

que cumpla

F(0) = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{F(x) = 3 - (x + 3)\,e^{-2x}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el producto de un polinomio de grado 1 por una exponencial: el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (que baja de grado y desaparece) e integrando la exponencial. Obtenemos todas las primitivas,

F(x) + C

, y con la condición

F(0) = 0

fijamos la constante.

Desarrollo

Integración por partes. Con la fórmula

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

, elegimos

u = 2x + 5 \;\Rightarrow\; du = 2\,dx, \qquad dv = e^{-2x}\,dx \;\Rightarrow\; v = -\frac12\,e^{-2x}

\int (2x + 5)\,e^{-2x}\,dx = -\frac12(2x + 5)\,e^{-2x} - \int\left(-\frac12\,e^{-2x}\right)2\,dx = -\frac12(2x + 5)\,e^{-2x} + \int e^{-2x}\,dx

= -\frac12(2x + 5)\,e^{-2x} - \frac12\,e^{-2x} + C = -\frac12(2x + 6)\,e^{-2x} + C = -(x + 3)\,e^{-2x} + C

Condición $F(0) = 0$ . Con

F(x) = -(x + 3)\,e^{-2x} + C

F(0) = -(0 + 3)\,e^{0} + C = -3 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = 3

F(x) = 3 - (x + 3)\,e^{-2x}

Comprobación. Derivando con la regla del producto:

F'(x) = 0 - \left[e^{-2x} + (x + 3)(-2)\,e^{-2x}\right] = \left(-1 + 2x + 6\right)e^{-2x} = (2x + 5)\,e^{-2x} = f(x)

F(0) = 3 - 3 = 0

✓.

Consejo

En polinomio por exponencial, $u$ es siempre el polinomio. Si eliges $u = e^{-2x}$ , el polinomio sube de grado y la integral se complica.

Cuidado con la primitiva de $e^{-2x}$ : es $-\frac12\,e^{-2x}$ , no $-2e^{-2x}$ . Y deriva tu resultado al final: si no sale $f(x)$ , hay un error de signo o de factor.