Límites y continuidad

Condición de continuidad. $f(0) = a$, así que $f$ es continua en $0$ si y solo si$$a = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - x\,e^x}{x^2 - 2\cos x + 2}$$(El denominador $x^2 + 2(1 - \cos x)$ es positivo para $x \neq 0$, así que el cociente está bien definido cerca de $0$.)

Primera aplicación de L'Hôpital. Al sustituir $x = 0$: numerador $0 - 0 = 0$ y denominador $0 - 2 + 2 = 0$, indeterminación $\frac00$. Numerador y denominador son derivables, así que derivamos cada uno (el numerador con la regla del producto en $x\,e^x$):$$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - x\,e^x}{x^2 - 2\cos x + 2} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x - e^x - x\,e^x}{2x + 2\operatorname{sen} x}$$Segunda aplicación. De nuevo $\frac{1 - 1 - 0}{0 + 0} = \frac00$. Derivamos otra vez:$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - e^x - x\,e^x}{2x + 2\operatorname{sen} x} = \lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x - e^x - e^x - x\,e^x}{2 + 2\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen} x - 2e^x - x\,e^x}{2 + 2\cos x}$$Ahora ya no hay indeterminación:$$\frac{-0 - 2 - 0}{2 + 2} = \frac{-2}{4} = -\frac12$$Por tanto, $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = -\frac12$ y $f$ es continua en $x = 0$ si y solo si$$a = -\frac12$$Comprobación con desarrollos de Taylor (para quien los conozca): cerca de $0$, $\operatorname{sen} x - x\,e^x \approx x - (x + x^2) = -x^2$ y $x^2 - 2\cos x + 2 \approx x^2 - 2\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + 2 = 2x^2$, así que el cociente tiende a $\frac{-x^2}{2x^2} = -\frac12$ ✓.