Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función

f(x) = x^2 \cdot e^{-x}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{f \text{ decrece en } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \text{ y crece en } (0, 2)}

\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0,\ 0);\quad \text{máximo relativo en } \left(2,\ \tfrac{4}{e^2}\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La monotonía la decide el signo de la derivada. Derivamos (regla del producto y de la cadena), sacamos factor común para tener

f'

factorizada, hallamos sus ceros y estudiamos el signo en cada intervalo. Donde

f'

cambia de signo hay un extremo relativo: mínimo si pasa de

-

+

, máximo si pasa de

+

-

Desarrollo

Dominio.

f

es producto de un polinomio y una exponencial, así que está definida y es derivable en todo

\mathbb{R}

.

Derivada. Por la regla del producto, con

(e^{-x})' = -e^{-x}

f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2\cdot(-e^{-x}) = (2x - x^2)\,e^{-x} = x\,(2 - x)\,e^{-x}

Puntos críticos. Como

e^{-x} > 0

para todo

x

, la derivada solo se anula donde lo hace

x(2 - x)

f'(x) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = 2

Signo de $f'$ . El signo es el de

x(2 - x)

	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
$x$	$-$	$+$	$+$
$2 - x$	$+$	$+$	$-$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

Se confirma con un valor de cada intervalo:

f'(-1) = (-1)\cdot 3\cdot e = -3e < 0

f'(1) = e^{-1} > 0

f'(3) = 3\cdot(-1)\cdot e^{-3} = -3e^{-3} < 0

.

Extremos.

En $x = 0$ , $f'$ pasa de negativa a positiva: mínimo relativo, con $f(0) = 0$ . Además, como $f(x) = x^2 e^{-x} \ge 0$ para todo $x$ , es también el mínimo absoluto.
En $x = 2$ , $f'$ pasa de positiva a negativa: máximo relativo, con $f(2) = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2} \approx 0{,}54$ .

Comprobación con la segunda derivada.

f''(x) = (x^2 - 4x + 2)\,e^{-x}

, así que

f''(0) = 2 > 0

(mínimo) y

f''(2) = -2e^{-2} < 0

(máximo) ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca $e^{-x}$ factor común antes de igualar a cero: como nunca se anula y siempre es positiva, el signo de $f'$ es el del polinomio que queda.

Un extremo es un punto: da las dos coordenadas, $(2, 4/e^2)$ , no solo $x = 2$ . Y la derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$ : olvidar ese signo cambia todos los intervalos.