Vectores y ángulos

Los vectores, restando coordenadas (extremo menos origen):$$\overrightarrow{AB} = (0 - 1,\ 3 - 2,\ 1 - 1) = (-1,\ 1,\ 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (1 - 1,\ 0 - 2,\ -1 - 1) = (0,\ -2,\ -2)$$a) El producto vectorial es ortogonal a los dos vectores:$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \end{vmatrix} = (-2 - 0)\,\vec i - (2 - 0)\,\vec j + (2 - 0)\,\vec k = (-2,\ -2,\ 2)$$Su módulo es$$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt 3$$y dividiendo obtenemos un vector unitario:$$\vec w = \frac{(-2,\ -2,\ 2)}{2\sqrt 3} = \left(-\frac{1}{\sqrt 3},\ -\frac{1}{\sqrt 3},\ \frac{1}{\sqrt 3}\right) = \left(-\frac{\sqrt 3}{3},\ -\frac{\sqrt 3}{3},\ \frac{\sqrt 3}{3}\right)$$Su opuesto, $\left(\frac{\sqrt 3}{3}, \frac{\sqrt 3}{3}, -\frac{\sqrt 3}{3}\right)$, también es válido.

Comprobación: $\vec w\cdot\overrightarrow{AB} = \frac{1}{\sqrt 3}(1 - 1 + 0) = 0$, $\vec w\cdot\overrightarrow{AC} = \frac{1}{\sqrt 3}(0 + 2 - 2) = 0$ y $|\vec w|^2 = \frac13 + \frac13 + \frac13 = 1$ ✓.

b) Producto escalar y módulos:$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0 - 2 + 0 = -2, \qquad |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt 2, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt 2$$$$\cos\alpha = \frac{-2}{\sqrt 2\cdot 2\sqrt 2} = \frac{-2}{4} = -\frac12 \;\Longrightarrow\; \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}\ \text{rad}$$Es un ángulo obtuso, como indica el producto escalar negativo.

c) El área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo que definen $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$:$$S = \frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac12\cdot 2\sqrt 3 = \sqrt 3 \approx 1{,}73\ \text{u}^2$$Comprobación con b): $S = \frac12\,|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\,\operatorname{sen}\alpha = \frac12\cdot\sqrt 2\cdot 2\sqrt 2\cdot\frac{\sqrt 3}{2} = \sqrt 3$ ✓.