Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - y - 4z + 1 = 0 \\ x - 2z + 1 = 0 \end{array}\right.

y es paralelo a la recta de ecuación

s \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z}{3}

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Resultado

\boxed{\pi \equiv 5x + 4y - 2z + 5 = 0}

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Estrategia

Para escribir un plano basta un punto y dos vectores directores (no paralelos). Si el plano contiene a

r

, contiene un punto de

r

y su vector director

\vec u

; si es paralelo a

s

, también contiene la dirección

\vec v

s

. Así que necesitamos un punto de

r

\vec u

\vec v

; el vector normal del plano es

\vec u \times \vec v

.

La recta

r

viene como corte de dos planos: su vector director es el producto vectorial de los dos vectores normales, y un punto se saca dando un valor a una de las incógnitas.

Desarrollo

Vector director y punto de $r$ . Los planos que definen

r

tienen normales

\vec n_1 = (1, -1, -4)

\vec n_2 = (1, 0, -2)

. La recta es perpendicular a los dos:

\vec u = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec i - (-2 + 4)\,\vec j + (0 + 1)\,\vec k = (2,\ -2,\ 1)

Para un punto, tomamos

z = 0

: la segunda ecuación da

x = -1

y la primera,

-1 - y + 1 = 0

, o sea

y = 0

. Así,

P_r(-1, 0, 0) \in r

.

Vector director de $s$ . De la forma continua,

\vec v = (2, -1, 3)

, y

s

pasa por

Q(1, 3, 0)

\vec u

\vec v

no son proporcionales (

\frac{2}{2} \neq \frac{-2}{-1}

), así que determinan un único plano.

Vector normal del plano.

\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (-6 + 1)\,\vec i - (6 - 2)\,\vec j + (-2 + 4)\,\vec k = (-5,\ -4,\ 2)

Tomamos

\vec n = (5, 4, -2)

(el opuesto) y el punto

P_r(-1, 0, 0)

5(x + 1) + 4(y - 0) - 2(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 5x + 4y - 2z + 5 = 0

Otra forma: el haz de planos. Todos los planos que contienen a

r

son

(x - y - 4z + 1) + \lambda(x - 2z + 1) = 0

, con normal

(1 + \lambda,\ -1,\ -4 - 2\lambda)

. Ser paralelo a

s

obliga a que esa normal sea perpendicular a

\vec v

2(1 + \lambda) + 1 + 3(-4 - 2\lambda) = 0 \;\Longrightarrow\; -9 - 4\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\tfrac{9}{4}

y, multiplicando por

-4

, se llega al mismo plano

5x + 4y - 2z + 5 = 0

. (El otro plano del haz,

x - 2z + 1 = 0

, no sirve: su normal da

(1, 0, -2)\cdot\vec v = -4 \neq 0

.)

Comprobación.

$r \subset \pi$ : el punto $P_r$ cumple $-5 + 0 - 0 + 5 = 0$ ✓ y $\vec n\cdot\vec u = 10 - 8 - 2 = 0$ ✓.
$s \parallel \pi$ : $\vec n\cdot\vec v = 10 - 4 - 6 = 0$ ✓, y el punto $Q(1, 3, 0)$ de $s$ da $5 + 12 - 0 + 5 = 22 \neq 0$ , así que $s$ es paralela a $\pi$ sin estar contenida en él.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El vector normal del plano es perpendicular a las dos direcciones, la de $r$ y la de $s$ : por eso sale de $\vec u \times \vec v$ . No uses las normales de los planos que definen $r$ como si fueran directores de la recta.

Para el punto de $r$ , da a una incógnita un valor cómodo ( $z = 0$ ) y resuelve las otras dos. Comprueba siempre que el punto cumple las dos ecuaciones de $r$ .