Dadas las matrices A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix} y N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, hallar los valores de a y b para que el producto A \cdot M sea igual a la inversa de la matriz N.

Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix}

N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

, hallar los valores de

a

b

para que el producto

A \cdot M

sea igual a la inversa de la matriz

N

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{a = 3,\quad b = 4}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que calcular dos cosas y compararlas. Por un lado, el producto

A \cdot M

: una matriz

2\times 3

por una

3\times 2

da una

2\times 2

, con

a

b

dentro. Por otro, la inversa de

N

, que existe si

|N| \neq 0

y, al ser

2\times 2

, sale enseguida. Igualando elemento a elemento obtenemos un sistema lineal en

a

b

Desarrollo

Producto $A \cdot M$ . Cada elemento es una fila de

A

por una columna de

M

A\cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 0 + (a-b) & 0 + 0 + 1 \\ -a + b + 0 & 0 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a - b & 1 \\ -a + b & 1 \end{pmatrix}

Inversa de $N$ . Su determinante es

|N| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0

así que

N

es invertible. Para una matriz

2\times 2

, se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los de la secundaria y se divide entre el determinante:

N^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

(Comprobación:

N\,N^{-1} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-1 \\ -2+2 & -1+2 \end{pmatrix} = I

.)

Igualamos.

A\cdot M = N^{-1}

exige

\begin{pmatrix} 2a - b & 1 \\ -a + b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} 2a - b = 2 \\ -a + b = 1 \end{array}\right.

La segunda columna ya coincide (

1 = 1

1 = 1

), así que no impone nada. Sumando las dos ecuaciones:

a = 3

, y entonces

b = 1 + a = 4

.

Comprobación. Con

a = 3

b = 4

M = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

A\cdot M = \begin{pmatrix} 3 + 0 - 1 & 1 \\ -3 + 4 + 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = N^{-1}

Consejo

Antes de multiplicar, mira las dimensiones: $(2\times 3)\cdot(3\times 2)$ da $2\times 2$ , igual que $N^{-1}$ . Si te sale otra cosa, has multiplicado en el orden equivocado ( $M\cdot A$ es $3\times 3$ ).

Al igualar matrices, escribe las cuatro ecuaciones aunque dos sean $1 = 1$ : así se ve que el sistema es compatible. Si alguna hubiera salido $1 = 0$ , no habría ningún valor posible.