Matemáticas IIMedio2 pts

Matrices

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Sea

b \in \mathbb{R}

y la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & b+1 \\ b+2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}

a) (1 punto) Calcular los valores de

b

para los que

A

tiene inversa.

b) (1 punto) Hallar

A^{-1}

para el caso

b = 0

(debe justificarse adecuadamente la respuesta).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ |A| = 1 - b^2:\quad A \text{ es invertible} \iff b \neq \pm 1}

\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) calculamos

|A|

en función de

b

(por Sarrus) y vemos qué valores lo anulan: para todos los demás,

A

es invertible.

En b),

b = 0

no es uno de esos valores, así que la inversa existe; la calculamos con la fórmula de los adjuntos,

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

, y la comprobamos multiplicando.

Desarrollo

a) Calculamos el determinante por la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & b+1 \\ b+2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{vmatrix} = 2b + 2 + (b+1)(b+2) - (b+1) - 2b(b+2) - 2

= 2b + 2 + b^2 + 3b + 2 - b - 1 - 2b^2 - 4b - 2 = 1 - b^2

|A| = 0 \iff b^2 = 1 \iff b = 1 \ \text{o}\ b = -1

Por tanto,

A

tiene inversa si y solo si

|A| \neq 0

, es decir, para $b \neq 1$ y $b \neq -1$ .

b) Con

b = 0

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 1 - 0^2 = 1 \neq 0

así que

A

es invertible (el valor

b = 0

no es ninguno de los de a)). Calculamos los adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1

A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0

A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2

La matriz adjunta es simétrica, así que coincide con su traspuesta:

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} = (\operatorname{Adj} A)^t

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Comprobación:

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2+1 & 2-2+0 & 2+0-2 \\ -2+1+1 & 2-1+0 & 2+0-2 \\ -1+1+0 & 1-1+0 & 1+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Sale la identidad ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el enunciado pide justificar: antes de calcular la inversa, di que $|A| = 1 \neq 0$ y que por eso existe. Sin esa frase la corrección suele quitar parte del apartado.

El error más frecuente con los adjuntos es olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ o no trasponer. Multiplicar $A \cdot A^{-1}$ al final cuesta un minuto y descubre cualquiera de los dos fallos.