Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es de

0{,}4

. Si realiza 5 lanzamientos, calcula

a) (0,75 puntos) La probabilidad de que no haga ningún hoyo.

b) (0,75 puntos) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos.

c) (0,5 puntos) El número medio de hoyos.

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Resultado

\boxed{X \sim B(5;\ 0{,}4)}

\boxed{\text{a) } P(X = 0) = 0{,}07776 \qquad \text{b) } P(X \le 2) = 0{,}68256 \qquad \text{c) } \mu = np = 2 \text{ hoyos}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada lanzamiento es un ensayo con dos resultados (hoyo o no), la probabilidad de éxito es siempre

0{,}4

y, suponiendo que los lanzamientos son independientes, el número de hoyos en 5 lanzamientos sigue una distribución binomial

B(5;\ 0{,}4)

. Se usa su función de probabilidad para a) y b) («como mucho 2» es

X \le 2

) y la fórmula de la media,

\mu = np

, para c).

Desarrollo

Sea

X

= «número de hoyos en los 5 lanzamientos». Con

n = 5

p = 0{,}4

q = 1 - p = 0{,}6

X \sim B(5;\ 0{,}4), \qquad P(X = k) = \binom{5}{k}\,0{,}4^k\,0{,}6^{5-k}, \quad k = 0, 1, \dots, 5

a) Ningún hoyo:

P(X = 0) = \binom50\,0{,}4^0\,0{,}6^5 = 0{,}6^5 = 0{,}07776

b) «Como mucho 2 hoyos» es

X \le 2

P(X = 1) = \binom51\,0{,}4\cdot 0{,}6^4 = 5\cdot 0{,}4\cdot 0{,}1296 = 0{,}2592

P(X = 2) = \binom52\,0{,}4^2\cdot 0{,}6^3 = 10\cdot 0{,}16\cdot 0{,}216 = 0{,}3456

P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0{,}07776 + 0{,}2592 + 0{,}3456 = 0{,}68256

c) La media de una binomial es

\mu = np

\mu = 5\cdot 0{,}4 = 2 \text{ hoyos}

Comprobación. Por el complementario,

P(X \ge 3) = P(3) + P(4) + P(5) = 0{,}2304 + 0{,}0768 + 0{,}01024 = 0{,}31744

, y

0{,}68256 + 0{,}31744 = 1

✓. Que la media sea 2 encaja con que

X = 2

sea el valor más probable.

Consejo

Antes de calcular nada, di que es una binomial y por qué: número fijo de ensayos (5), independientes, con dos resultados y la misma probabilidad de éxito. Esa frase y $B(5;\ 0{,}4)$ ya puntúan.

«Como mucho 2» incluye el 0, el 1 y el 2: olvidar $P(X = 0)$ es el fallo más habitual. Y no te dejes los números combinatorios, $\binom51 = 5$ y $\binom52 = 10$ .