Matemáticas IIMedio2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

En una votación se registran 900 votos en total. El candidato A consigue 300 votos; el B consigue el 25 % del total y el candidato C se lleva el resto. Se sabe que el 60 % de los que han votado al candidato A eran mujeres; el 60 % de los del B eran hombres, y el 20 % de los del candidato C eran mujeres.

a) (1 punto) Si se elige un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

b) (1 punto) Si un votante es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado al candidato A?

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Resultado

\boxed{\text{a) } P(M) = \frac{23}{60} \approx 0{,}3833}

\boxed{\text{b) } P(A \mid H) = \frac{8}{37} \approx 0{,}2162}

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Estrategia

Los candidatos A, B y C forman una partición de los votantes, y del sexo solo conocemos las probabilidades condicionadas a cada candidato. Es el esquema de un diagrama de árbol: en a) se aplica el teorema de la probabilidad total y en b), el teorema de Bayes. Como los datos son recuentos, se puede comprobar todo con una tabla de contingencia.

Desarrollo

Llamamos

A

B

C

al candidato votado,

M

= «mujer» y

H

= «hombre»

= \overline{M}

.

Probabilidades de cada candidato. B tiene el 25 % de 900, es decir, 225 votos, y C el resto,

900 - 300 - 225 = 375

P(A) = \frac{300}{900} = \frac13, \qquad P(B) = \frac14, \qquad P(C) = \frac{375}{900} = \frac{5}{12}

Condicionadas. Del enunciado, con cuidado en B, que da el porcentaje de hombres:

P(M \mid A) = 0{,}6, \qquad P(M \mid B) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4, \qquad P(M \mid C) = 0{,}2

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(M) = P(A)\,P(M\mid A) + P(B)\,P(M\mid B) + P(C)\,P(M\mid C)

P(M) = \frac13\cdot 0{,}6 + \frac14\cdot 0{,}4 + \frac{5}{12}\cdot 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}1 + \frac{1}{12} = \frac{23}{60} \approx 0{,}3833

b) Por el teorema de Bayes, con

P(H \mid A) = 0{,}4

P(H) = 1 - P(M) = \frac{37}{60}

P(A \mid H) = \frac{P(A)\,P(H\mid A)}{P(H)} = \frac{\frac13\cdot 0{,}4}{\frac{37}{60}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{37}{60}} = \frac{8}{37} \approx 0{,}2162

Comprobación con los recuentos. La tabla de contingencia de los 900 votantes:

	A	B	C	Total
Mujeres	180	90	75	345
Hombres	120	135	300	555
Total	300	225	375	900

P(M) = \frac{345}{900} = \frac{23}{60} \ ✓, \qquad P(A \mid H) = \frac{120}{555} = \frac{8}{37} \ ✓

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Consejo

Lee con lupa cada porcentaje: en B el dato es el de hombres (60 %), así que las mujeres de B son el 40 %. Copiar 0,6 en las tres ramas de «mujer» es el error que hace fallar los dos apartados.

En b) la pregunta da por hecho que es hombre: eso va en el denominador, $P(H)$ , que es el complementario del resultado de a). Con recuentos, la tabla de doble entrada lo comprueba todo.