Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones

f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6, \qquad g(x) = 2x + 6

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Cortes en } x = 0,\ 1,\ 2; \qquad \text{Área} = \frac14 + \frac14 = \frac12 \text{ u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero se hallan los puntos de corte resolviendo

f(x) = g(x)

: dan los límites de integración. Entre cada dos cortes consecutivos se mira qué función va por encima (el signo de

f - g

) y se integra la diferencia. Como el recinto tiene dos tramos y en cada uno manda una función distinta, se calcula cada integral por separado y se suman sus valores absolutos.

Desarrollo

Puntos de corte.

f(x) - g(x) = -x^3 + 3x^2 + 6 - 2x - 6 = -x^3 + 3x^2 - 2x = -x\left(x^2 - 3x + 2\right) = -x(x - 1)(x - 2)

f(x) = g(x) \iff x = 0,\ x = 1,\ x = 2

Las gráficas se cortan en

(0, 6)

(1, 8)

(2, 10)

: el recinto tiene dos tramos,

[0, 1]

[1, 2]

.

Quién va por encima. Con

h(x) = f(x) - g(x) = -x(x-1)(x-2)

En $(0, 1)$ : $h\left(\frac12\right) = -\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\left(-\frac32\right) = -\frac38 < 0$ , así que $g$ va por encima.
En $(1, 2)$ : $h\left(\frac32\right) = -\frac32\cdot\frac12\cdot\left(-\frac12\right) = \frac38 > 0$ , así que $f$ va por encima.

Integrales. Una primitiva de

h

H(x) = \int \left(-x^3 + 3x^2 - 2x\right) dx = -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2

con

H(0) = 0

H(1) = -\frac14 + 1 - 1 = -\frac14

H(2) = -4 + 8 - 4 = 0

. Por la regla de Barrow:

\int_0^1 h(x)\,dx = H(1) - H(0) = -\frac14, \qquad \int_1^2 h(x)\,dx = H(2) - H(1) = \frac14

Área. Cada tramo aporta el valor absoluto de su integral:

\text{Área} = \left|-\frac14\right| + \left|\frac14\right| = \frac14 + \frac14 = \frac12 \text{ u}^2

Comprobación.

h(x) = -x(x-1)(x-2)

es simétrica respecto del punto

(1, 0)

, así que los dos tramos tienen la misma área, como ha salido. Integrar de golpe entre 0 y 2 daría

H(2) - H(0) = 0

: el error de no partir la integral.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando las curvas se cortan en un punto intermedio, la función que va por encima cambia y hay que partir la integral. Si integras $f - g$ de 0 a 2 de una vez sale 0, porque los dos trozos se compensan, y un área nunca puede ser 0 si hay recinto.

Escribe siempre qué función va por encima en cada tramo (basta un valor de prueba) o toma el valor absoluto de cada integral; y termina con las unidades, u².