Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Hallar la integral

\displaystyle\int \frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\int \frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx = -3\ln|x| + 4\ln|x - 1| - 2\ln|x + 2| + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el grado del numerador (2) menor que el del denominador (3), así que no hace falta dividir. Se factoriza el denominador, se descompone la fracción en fracciones simples y cada una se integra como un logaritmo.

Desarrollo

Factorizar el denominador.

x^3 + x^2 - 2x = x\left(x^2 + x - 2\right) = x(x - 1)(x + 2)

Tres raíces reales simples:

0

1

-2

.

Fracciones simples.

\frac{-x^2 + 7x + 6}{x(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}

Quitando denominadores:

-x^2 + 7x + 6 = A(x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 1)

Damos a

x

los valores de las raíces:

$x = 0$ : $\ 6 = A\cdot(-1)\cdot 2 = -2A \;\Rightarrow\; A = -3$
$x = 1$ : $\ -1 + 7 + 6 = 12 = B\cdot 1\cdot 3 = 3B \;\Rightarrow\; B = 4$
$x = -2$ : $\ -4 - 14 + 6 = -12 = C\cdot(-2)\cdot(-3) = 6C \;\Rightarrow\; C = -2$

\frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x} = -\frac{3}{x} + \frac{4}{x - 1} - \frac{2}{x + 2}

Comprobación con los coeficientes de

x^2

A + B + C = -3 + 4 - 2 = -1

, que es el del numerador ✓.

Integrar. Cada sumando es inmediato,

\int \frac{dx}{x - k} = \ln|x - k|

\int \frac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x}\,dx = -3\ln|x| + 4\ln|x - 1| - 2\ln|x + 2| + C

que también puede escribirse como un solo logaritmo:

= \ln\frac{(x - 1)^4}{|x|^3\,(x + 2)^2} + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\Big(-3\ln|x| + 4\ln|x - 1| - 2\ln|x + 2|\Big) = -\frac{3}{x} + \frac{4}{x - 1} - \frac{2}{x + 2}

y al sumar con denominador común

x(x - 1)(x + 2)

el numerador es

-3(x^2 + x - 2) + 4(x^2 + 2x) - 2(x^2 - x) = -x^2 + 7x + 6 \ ✓

Consejo

Las tres raíces del denominador son simples, así que el atajo es sustituir $x = 0$ , $x = 1$ y $x = -2$ en la igualdad sin denominadores: cada valor deja una sola incógnita.

No olvides los valores absolutos dentro de los logaritmos ni la constante $C$ : son detalles que el corrector descuenta. Y si te sobra tiempo, deriva tu resultado para comprobarlo.