Derivadas y aplicaciones

Fuera de $x = 0$, cada trozo es un polinomio: $f$ es continua y derivable en $[-2, 0)$ y en $(0, 2]$. Solo hay que imponer las condiciones en $x = 0$.

1. Continuidad en $x = 0$.$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}\left(x^2 + ax - b\right) = -b, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0) = a$$Es continua en $x = 0$ si y solo si$$-b = a$$2. Derivabilidad en $x = 0$. Con la condición anterior ya es continua, así que basta comparar las derivadas laterales:$$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x + a & \text{si } x < 0 \\ c & \text{si } x > 0 \end{array}\right. \qquad f'(0^-) = a, \quad f'(0^+) = c$$Es derivable en $x = 0$ si y solo si$$a = c$$3. Mismo valor en los extremos del intervalo.$$f(-2) = 4 - 2a - b, \qquad f(2) = a + 2c$$$$4 - 2a - b = a + 2c$$Sistema. Sustituyendo $b = -a$ y $c = a$ en la tercera ecuación:$$4 - 2a + a = a + 2a \;\Longrightarrow\; 4 - a = 3a \;\Longrightarrow\; a = 1$$y por tanto $b = -1$ y $c = 1$. La función queda$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 + x + 1 & \text{si } x < 0 \\ 1 + x & \text{si } x \geq 0 \end{array}\right.$$Comprobación. Continua: los dos trozos valen 1 en $x = 0$. Derivable: $f'(0^-) = 2\cdot 0 + 1 = 1 = f'(0^+)$. Extremos: $f(-2) = 4 - 2 + 1 = 3$ y $f(2) = 1 + 2 = 3$ ✓.

Como cumple las hipótesis, Rolle asegura un $\xi \in (-2, 2)$ con $f'(\xi) = 0$. Efectivamente, en el trozo izquierdo $2x + 1 = 0$ da $\xi = -\frac12 \in (-2, 0)$; en el derecho, $f' = 1$ no se anula.