Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Se considera la función

f(x) = \dfrac{4x + 4}{x^2}

.

a) (1,5 puntos) Estudiar sus asíntotas, monotonía y extremos relativos.

b) (0,5 puntos) Representarla gráficamente.

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Resultado

\boxed{\text{A. V.: } x = 0 \ (f \to +\infty \text{ por ambos lados}); \quad \text{A. H.: } y = 0; \quad \text{sin oblicuas}}

\boxed{\text{Decrece en } (-\infty, -2)\cup(0, +\infty);\ \text{crece en } (-2, 0);\ \text{mínimo relativo en } (-2, -1)}

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Estrategia

Es una función racional: su dominio es

\mathbb{R}

menos los ceros del denominador, que son los candidatos a asíntota vertical. Como el grado del numerador es menor que el del denominador, tiende a 0 en el infinito: asíntota horizontal

y = 0

(y entonces no hay oblicuas).

Para la monotonía se deriva con la regla del cociente, se simplifica y se estudia el signo de

f'

en los intervalos que delimitan sus ceros y el punto que no está en el dominio. Los cambios de signo dan los extremos. Con todo eso, más el corte con el eje

X

, se dibuja la gráfica.

Desarrollo

Dominio. El denominador solo se anula en

x = 0

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{0\}

.

a) Asíntotas.

Vertical. En

x = 0

el numerador vale 4 y el denominador tiende a

0^+

por los dos lados (es un cuadrado):

\lim_{x\to 0^-} \frac{4x + 4}{x^2} = \frac{4}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{4x + 4}{x^2} = \frac{4}{0^+} = +\infty

luego

x = 0

es asíntota vertical, con la gráfica subiendo a

+\infty

por ambos lados.

Horizontal.

\lim_{x\to\pm\infty} \frac{4x + 4}{x^2} = \lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}\right) = 0

luego

y = 0

es asíntota horizontal en

+\infty

y en

-\infty

. La gráfica corta a esta asíntota solo donde

4x + 4 = 0

, en

x = -1

; para

x > -1

x \neq 0

) va por encima y para

x < -1

, por debajo.

Oblicuas. No hay: en cada lado ya hay una asíntota horizontal.

Monotonía. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{4\cdot x^2 - (4x + 4)\cdot 2x}{x^4} = \frac{-4x^2 - 8x}{x^4} = \frac{-4x(x + 2)}{x^4} = \frac{-4(x + 2)}{x^3}

f'(x) = 0 \iff x = -2

. Junto con

x = 0

(fuera del dominio) parten la recta en tres intervalos:

	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0)$	$(0, +\infty)$
$x + 2$	$-$	$+$	$+$
$x^3$	$-$	$-$	$+$
$f'(x) = \frac{-4(x+2)}{x^3}$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

Por ejemplo,

f'(-3) = \frac{-4(-1)}{-27} = -\frac{4}{27} < 0

f'(-1) = \frac{-4\cdot 1}{-1} = 4 > 0

f'(1) = -12 < 0

f

es decreciente en

(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)

y creciente en

(-2, 0)

.

Extremos relativos. En

x = -2

la derivada pasa de negativa a positiva y

f

es continua allí: hay un mínimo relativo.

f(-2) = \frac{-8 + 4}{4} = -1 \;\Longrightarrow\; \text{mínimo relativo en } (-2, -1)

x = 0

también cambia el signo de

f'

, pero

0

no es del dominio: no hay extremo, hay asíntota. No hay máximos relativos.

b) Gráfica. Reunimos lo anterior y algunos puntos:

Corte con el eje $X$ : $(-1, 0)$ . No corta al eje $Y$ ( $x = 0$ no está en el dominio).
Por la izquierda, la gráfica viene de $y = 0^-$ (por debajo del eje), baja hasta el mínimo $(-2, -1)$ , sube cortando el eje en $(-1, 0)$ y se dispara a $+\infty$ al acercarse a $x = 0$ .
Por la derecha, baja desde $+\infty$ junto a $x = 0$ hacia $y = 0^+$ , siempre por encima del eje: $f(1) = 8$ , $f(2) = 3$ , $f(4) = \frac{5}{4}$ .
A la izquierda del mínimo, por ejemplo, $f(-4) = -\frac{3}{4}$ y $f(-8) = -\frac{7}{16}$ : se acerca a la asíntota por debajo. (La curvatura cambia en $x = -3$ , punto de inflexión $\left(-3, -\frac{8}{9}\right)$ , aunque no se pide.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $x = 0$ la derivada cambia de signo, pero eso no es un extremo: el punto no está en el dominio. Al hacer la tabla de signos incluye siempre los puntos excluidos del dominio como separadores de intervalos, pero no los propongas como máximos o mínimos.

Para la gráfica basta un esbozo coherente: asíntotas dibujadas a trazos, el mínimo, el corte $(-1, 0)$ y que la curva llegue a $y = 0$ por debajo a la izquierda y por encima a la derecha.