Rectas y planos

De las ecuaciones paramétricas de $r$ y de la continua de $s$:$$r:\ P_r = (1, 5, 0),\ \ \vec d_r = (-2, 2, -6) \qquad\qquad s:\ P_s = (-1, 1, 0),\ \ \vec d_s = (1, a, 3)$$a) El director de $r$ es proporcional a $(1, -1, 3)$, ya que $(-2, 2, -6) = -2\,(1, -1, 3)$. Para que $\vec d_s = (1, a, 3)$ sea proporcional a él:$$\frac{1}{-2} = \frac{a}{2} = \frac{3}{-6} \;\Longrightarrow\; a = -1$$Falta ver que no son la misma recta. ¿Está $P_s = (-1, 1, 0)$ en $r$?$$1 - 2\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 1, \qquad 5 + 2\cdot 1 = 7 \neq 1$$No lo está, así que con $a = -1$ las rectas son paralelas (distintas). Para cualquier otro valor de $a$ los directores no son proporcionales y las rectas no pueden ser paralelas.

b) El plano $-3x + 4y - 4 = 0$ tiene vector normal $\vec n = (-3, 4, 0)$. Calculamos:$$\vec d_r \cdot \vec n = (-2)(-3) + 2\cdot 4 + (-6)\cdot 0 = 14$$$$|\vec d_r| = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}, \qquad |\vec n| = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$$$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{14}{2\sqrt{11}\cdot 5} = \frac{7}{5\sqrt{11}} = \frac{7\sqrt{11}}{55} \approx 0{,}4221$$$$\alpha = \operatorname{arcsen}\frac{7\sqrt{11}}{55} \approx 24{,}97^\circ \approx 24^\circ\, 58'$$Comprobación de sentido: como $\vec d_r\cdot\vec n \neq 0$, la recta no es paralela al plano y el ángulo no puede ser $0^\circ$; y como $\vec d_r$ no es proporcional a $\vec n$, tampoco es $90^\circ$. Un ángulo agudo intermedio encaja.