Vectores y ángulos

a) Perpendicularidad de $\vec u$ y $\vec w$:$$\vec u \cdot \vec w = 2a + b + 0 = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2a$$Dependencia lineal de $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$: su determinante debe ser nulo. Desarrollando por la primera fila:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 2(0 - b) - 1(5 - a) + 0 = -2b - 5 + a = 0 \;\Longrightarrow\; a - 2b = 5$$Sustituyendo $b = -2a$:$$a + 4a = 5 \;\Longrightarrow\; a = 1, \qquad b = -2$$Así $\vec w = (1, -2, 1)$.

Comprobación: $\vec u\cdot\vec w = 2 - 2 + 0 = 0$ ✓ y$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 2(0 + 2) - 1(5 - 1) + 0 = 4 - 4 = 0 \ ✓$$De hecho, $\vec w = \vec v - 2\vec u = (5 - 4,\ 0 - 2,\ 1 - 0)$: se ve la dependencia a simple vista.

b) El producto mixto es el determinante de los tres vectores:$$[\vec u, \vec v, \vec z] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(0 - 2) - 1(5 - 1) + 0 = -4 - 4 = -8$$El signo solo indica la orientación de la terna; el volumen es su valor absoluto:$$V = \left|[\vec u, \vec v, \vec z]\right| = |-8| = 8 \text{ u}^3$$(En la simulación, con los vectores colocados desde el origen, aparece el producto mixto y el volumen del tetraedro, que es la sexta parte: $\frac{8}{6} = \frac43$ u³.)