Determinantes

Determinante. Por Sarrus:$$|A| = 2m\cdot m\cdot m + 1\cdot 1\cdot 2 + 1\cdot 2\cdot 1 - \left(1\cdot m\cdot 2 + 2m\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot m\right) = 2m^3 + 4 - 6m$$$$|A| = 2\left(m^3 - 3m + 2\right)$$Por Ruffini, $m = 1$ es raíz de $m^3 - 3m + 2$: el cociente es $m^2 + m - 2 = (m - 1)(m + 2)$. Así$$|A| = 2(m - 1)^2(m + 2), \qquad |A| = 0 \iff m = 1 \ \text{ o } \ m = -2$$Caso $m \neq 1$ y $m \neq -2$. Entonces $|A| \neq 0$ y $\operatorname{rg}(A) = 3$.

Caso $m = 1$.$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Las tres filas son iguales, así que todos los menores de orden 2 valen 0 (tienen dos filas iguales). Como $A$ no es la matriz nula, $\operatorname{rg}(A) = 1$.

Caso $m = -2$.$$A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$Aquí $|A| = 0$, así que el rango es menor que 3, y el menor formado por las dos primeras filas y columnas no se anula:$$\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 8 - 2 = 6 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2$$Comprobación. Con $m = -2$ la suma de las tres filas es $(0, 0, 0)$: la tercera es combinación de las otras dos, como dice $|A| = 0$. Y con $m = 0$, por ejemplo, $|A| = 2\cdot 1\cdot 2 = 4$, que coincide con $2m^3 - 6m + 4 = 4$ ✓.