Matemáticas IIMedio2 pts

Matrices

Extremadura · 2024 · Julio

Enunciado

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}

.

a) (1 punto) Calcular la inversa de la matriz

A + A^t

, donde

A^t

es la traspuesta de

A

.

b) (1 punto) Encontrar la matriz

X

que verifica

XA + XA^t = C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } (A + A^t)^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b) } X = C\,(A + A^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se suma

A

con su traspuesta (sale una matriz simétrica), se comprueba que su determinante no es nulo y se calcula la inversa por adjuntos:

B^{-1} = \frac{1}{|B|}\,(\operatorname{Adj} B)^t

.

En b) se saca

X

factor común por la izquierda:

X(A + A^t) = C

. Como

A + A^t

es invertible, se multiplica por su inversa por la derecha en los dos miembros. Ojo con las dimensiones:

C

2\times 3

, así que

X

también es

2\times 3

Desarrollo

a) La traspuesta cambia filas por columnas:

A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = A + A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Su determinante, por Sarrus:

|B| = 0 + 1 + 1 - (2 + 0 + 2) = 2 - 4 = -2 \neq 0

luego

B

es regular y tiene inversa. Los adjuntos

B_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

B_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad B_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad B_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1

B_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad B_{22} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad B_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1

B_{31} = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad B_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad B_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3

Como

B

es simétrica, su matriz adjunta también lo es y trasponerla no cambia nada:

B^{-1} = \frac{1}{|B|}(\operatorname{Adj} B)^t = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12 & \frac12 \\ -\frac12 & \frac12 & -\frac32 \end{pmatrix}

Comprobación: la primera fila de

B

por la primera columna de

B^{-1}

2\cdot\frac12 - 1\cdot\frac12 - 1\cdot\left(-\frac12\right) = 1

, y lo mismo con las demás:

B\,B^{-1} = I

✓.

b) La

X

multiplica a las dos matrices por la izquierda, así que se saca factor común por ese lado:

XA + XA^t = X(A + A^t) = XB = C

Multiplicando por

B^{-1}

por la derecha en los dos miembros:

X = C\,B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12 & \frac12 \\ -\frac12 & \frac12 & -\frac32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Por ejemplo, el elemento

x_{11}

0\cdot\frac12 + 1\cdot\frac12 + (-1)\left(-\frac12\right) = 1

y el

x_{13}

0\cdot\left(-\frac12\right) + 1\cdot\frac12 + (-1)\left(-\frac32\right) = 2

.

Comprobación:

XB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix} = C \ ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error que más puntos cuesta en b) es poner la inversa por el lado equivocado: $X$ está a la izquierda de $B$ , así que la inversa va a la derecha, $X = CB^{-1}$ . Escribir $B^{-1}C$ ni siquiera se puede multiplicar ( $3\times 3$ por $2\times 3$ ): las dimensiones te avisan.

Y no olvides comprobar $|B| \neq 0$ antes de invertir: es lo que justifica que puedas despejar.