Entre los vehículos que revisa un taller mecánico: - El 48\,\% de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación. - El 28\,\% son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación. - El 24\,\% son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación. Se consideran los sucesos: C = "coche", M = "motocicleta", F = "furgoneta" y R = "requiere reparación". a) (0,2 puntos) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. b) (1,3 puntos) Calcular P(R \cap F), P(R) y P(C/R). c) (0,5 puntos) ¿Son independientes los sucesos C y R?

Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2024 · Junio

Enunciado

Entre los vehículos que revisa un taller mecánico:

El $48\,\%$ de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación.
El $28\,\%$ son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación.
El $24\,\%$ son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación.

Se consideran los sucesos:

C

= "coche",

M

= "motocicleta",

F

= "furgoneta" y

R

= "requiere reparación".

a) (0,2 puntos) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores.

b) (1,3 puntos) Calcular

P(R \cap F)

P(R)

P(C/R)

.

c) (0,5 puntos) ¿Son independientes los sucesos

C

R

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{b)}\ P(R \cap F) = 0{,}08;\quad P(R) = 0{,}58;\quad P(C/R) = \frac{18}{29} \approx 0{,}6207}

\boxed{\text{c)}\ P(C \cap R) = 0{,}36 \neq P(C)P(R) = 0{,}2784:\ \text{no son independientes}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

C

M

F

forman un sistema completo de sucesos (todo vehículo es de uno y solo uno de los tres tipos), y de cada uno conocemos la probabilidad de que requiera reparación: es el esquema del diagrama de árbol. La intersección sale multiplicando las ramas,

P(R)

con el teorema de la probabilidad total y

P(C/R)

con el teorema de Bayes. Para la independencia comparamos

P(C \cap R)

con

P(C)\cdot P(R)

Desarrollo

a) Los porcentajes de cada tipo son probabilidades no condicionadas, y las fracciones que requieren reparación son probabilidades condicionadas al tipo de vehículo:

P(C) = 0{,}48, \qquad P(M) = 0{,}28, \qquad P(F) = 0{,}24

P(R/C) = \frac{3}{4} = 0{,}75, \qquad P(R/M) = \frac{1}{2} = 0{,}5, \qquad P(R/F) = \frac{1}{3}

(Se comprueba que

0{,}48 + 0{,}28 + 0{,}24 = 1

.)

b) Intersección. Por la definición de probabilidad condicionada:

P(R \cap F) = P(F)\cdot P(R/F) = 0{,}24\cdot\frac{1}{3} = 0{,}08

Probabilidad total. Como

C

M

F

forman un sistema completo:

P(R) = P(C)P(R/C) + P(M)P(R/M) + P(F)P(R/F) = 0{,}48\cdot\frac{3}{4} + 0{,}28\cdot\frac{1}{2} + 0{,}24\cdot\frac{1}{3}

P(R) = 0{,}36 + 0{,}14 + 0{,}08 = 0{,}58

Bayes.

P(C/R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)} = \frac{P(C)\,P(R/C)}{P(R)} = \frac{0{,}36}{0{,}58} = \frac{18}{29} \approx 0{,}6207

C

R

son independientes si

P(C \cap R) = P(C)\cdot P(R)

P(C \cap R) = 0{,}36, \qquad P(C)\cdot P(R) = 0{,}48\cdot 0{,}58 = 0{,}2784

Como

0{,}36 \neq 0{,}2784

, no son independientes. Equivalentemente,

P(R/C) = 0{,}75 \neq P(R) = 0{,}58

: saber que el vehículo es un coche aumenta la probabilidad de que requiera reparación.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(R/C) = 0{,}75$ («de los coches, cuántos requieren reparación») con $P(C/R) \approx 0{,}62$ («de los que requieren reparación, cuántos son coches»). La segunda es la que pide Bayes.

Para la independencia escribe siempre la condición $P(C \cap R) = P(C)P(R)$ y los dos números: decir «no, porque dependen» no puntúa.