Límites y continuidad

a) Al sustituir $x = 0$: numerador $0\cdot(e^0 - 1) = 0$ y denominador $\cos 0 - 1 = 0$. Indeterminación $\frac{0}{0}$; numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^x - 1)}{\cos x - 1} = \lim_{x\to 0} \frac{(e^x - 1) + xe^x}{-\operatorname{sen} x}$$De nuevo $\frac{0 + 0}{0}$: volvemos a aplicar L'Hôpital.$$= \lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^x + xe^x}{-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{2e^x + xe^x}{-\cos x} = \frac{2 + 0}{-1} = -2$$Comprobación con infinitésimos equivalentes. Cerca de 0, $e^x - 1 \sim x$ y $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$, así que el cociente se comporta como $\frac{x\cdot x}{-x^2/2} = -2$ ✓.

b) Por partes, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, con$$u = x - 1 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{-x}\,dx \;\Rightarrow\; v = -e^{-x}$$$$\int e^{-x}(x - 1)\,dx = -(x - 1)e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -(x - 1)e^{-x} - e^{-x} + K = -xe^{-x} + K$$Comprobación de la primitiva. $\left(-xe^{-x}\right)' = -e^{-x} + xe^{-x} = e^{-x}(x - 1)$ ✓.

Por la regla de Barrow (el integrando es continuo en $[0, 2]$):$$\int_0^2 e^{-x}(x - 1)\,dx = \Big[-xe^{-x}\Big]_0^2 = -2e^{-2} - 0 = -\frac{2}{e^2} \approx -0{,}2707$$El resultado es negativo porque el integrando es negativo en $[0, 1)$ y positivo en $(1, 2]$, y la parte negativa pesa más: $\int_0^1 e^{-x}(x - 1)\,dx = -\frac{1}{e} \approx -0{,}3679$ frente a $\int_1^2 e^{-x}(x - 1)\,dx = \frac{1}{e} - \frac{2}{e^2} \approx 0{,}0972$.