Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2024 · Junio

Enunciado

Dada la función

f(x) = e^x x^{-1}

, determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{0\};\quad \text{A.V.}\ x = 0;\quad \text{A.H.}\ y = 0 \ \text{(en } -\infty)}

\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 0) \text{ y en } (0, 1);\ \text{creciente en } (1, +\infty);\ \text{mínimo relativo en } (1, e)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Escribimos la función como

f(x) = \frac{e^x}{x}

. El dominio excluye el cero del denominador, que es el candidato a asíntota vertical (lo confirman los límites laterales). Las horizontales salen de los límites en

\pm\infty

, comparando la exponencial con

x

. Con el signo de

f'

obtenemos la monotonía y los extremos, y con todo ello esbozamos la gráfica.

Desarrollo

f(x) = e^x x^{-1} = \frac{e^x}{x}

Dominio. La exponencial existe para todo

x

; solo falla el denominador:

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}

Asíntota vertical. En

x = 0

el numerador tiende a

e^0 = 1

y el denominador a 0:

\lim_{x\to 0^-} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty

luego

x = 0

es asíntota vertical. No hay más, porque

f

es continua en el resto de su dominio.

Asíntotas horizontales.

\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{0}{-\infty} = 0

así que

y = 0

es asíntota horizontal por la izquierda (la gráfica se acerca por debajo, porque

f(x) < 0

x < 0

\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

(la exponencial crece mucho más deprisa que

x

; también por L'Hôpital:

\lim \frac{e^x}{1} = +\infty

). No hay asíntota horizontal por la derecha.

Monotonía y extremos. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{e^x\cdot x - e^x\cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}

Como

e^x > 0

x^2 > 0

en el dominio, el signo de

f'

es el de

x - 1

, que se anula en

x = 1

	$(-\infty, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
signo de $f'$	$-$	$-$	$+$
$f$	decreciente	decreciente	creciente

$f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$ y en $(0, 1)$ .
$f$ es creciente en $(1, +\infty)$ .
En $x = 1$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $(1, f(1)) = (1, e) \approx (1;\ 2{,}72)$ .

No hay máximos relativos (en

x = 0

la función no está definida).

Esbozo de la gráfica. La función no corta a los ejes (

e^x \neq 0

x = 0

no está en el dominio); es negativa para

x < 0

y positiva para

x > 0

Rama izquierda: sale de muy cerca de $y = 0$ por debajo cuando $x \to -\infty$ y baja hasta $-\infty$ al acercarse a $x = 0$ por la izquierda (pasa, por ejemplo, por $(-1, -\frac{1}{e}) \approx (-1;\ -0{,}37)$ ).
Rama derecha: baja desde $+\infty$ junto a $x = 0$ hasta el mínimo $(1, e)$ y después sube hacia $+\infty$ cada vez más deprisa (por ejemplo, $f(2) = \frac{e^2}{2} \approx 3{,}69$ ).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No escribas «decreciente en $(-\infty, 1)$ »: el 0 no está en el dominio y la función salta de $-\infty$ a $+\infty$ . Da los dos intervalos por separado: en su unión no es decreciente ( $f(-1) < 0 < f(\frac{1}{2})$ ), así que tampoco vale un único intervalo que salte la asíntota.

Con exponenciales, estudia las horizontales en $-\infty$ y en $+\infty$ por separado: aquí solo hay asíntota por un lado.