Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2024 · Junio
Enunciado
Se considera la función f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C. Determinar el valor de los parámetros AA, BB y CC tales que f(−1)=0f(-1) = 0, la función ff presenta un extremo relativo en x=0x = 0 y la recta tangente a la gráfica de la función ff en x=−1x = -1 es paralela a la recta de ecuación y+3x=0y + 3x = 0.
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Resultado
A=3,B=0,C=−2f(x)=x3+3x2−2\boxed{A = 3,\quad B = 0,\quad C = -2 \qquad f(x) = x^3 + 3x^2 - 2}
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Estrategia

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación: el valor f(−1)=0f(-1) = 0; el extremo relativo en x=0x = 0, como ff es derivable, obliga a f′(0)=0f'(0) = 0; y la tangente paralela a y=−3xy = -3x obliga a que su pendiente, f′(−1)f'(-1), sea −3-3. Resolvemos el sistema de tres ecuaciones y comprobamos con la derivada segunda que en x=0x = 0 hay de verdad un extremo.
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Desarrollo

La derivada esf′(x)=3x2+2Ax+Bf'(x) = 3x^2 + 2Ax + BExtremo relativo en x=0x = 0. ff es un polinomio, derivable en todo R\mathbb{R}, así que un extremo relativo en x=0x = 0 exigef′(0)=B=0f'(0) = B = 0Tangente en x=−1x = -1 paralela a y+3x=0y + 3x = 0. Esa recta es y=−3xy = -3x, de pendiente −3-3. Rectas paralelas tienen la misma pendiente, y la de la tangente en x=−1x = -1 es f′(−1)f'(-1):f′(−1)=3−2A+B=−3  ⟹  3−2A+0=−3  ⟹  A=3f'(-1) = 3 - 2A + B = -3 \;\Longrightarrow\; 3 - 2A + 0 = -3 \;\Longrightarrow\; A = 3Paso por (−1,0)(-1, 0).f(−1)=−1+A−B+C=0  ⟹  −1+3−0+C=0  ⟹  C=−2f(-1) = -1 + A - B + C = 0 \;\Longrightarrow\; -1 + 3 - 0 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = -2Queda f(x)=x3+3x2−2f(x) = x^3 + 3x^2 - 2.

Comprobación de que en x=0x = 0 hay un extremo. f′(0)=0f'(0) = 0 es necesario pero no suficiente. Con f′′(x)=6x+6f''(x) = 6x + 6:f′′(0)=6>0f''(0) = 6 > 0así que en x=0x = 0 hay un mínimo relativo: la condición se cumple.

Comprobación del resto. f(−1)=−1+3−2=0f(-1) = -1 + 3 - 2 = 0 ✓ y f′(−1)=3−6=−3f'(-1) = 3 - 6 = -3 ✓.
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Consejo

«Paralela a y+3x=0y + 3x = 0» da la pendiente −3-3, no 33: despeja siempre la yy antes de leer la pendiente.

Y termina comprobando que f′(0)=0f'(0) = 0 da de verdad un extremo (f′′(0)≠0f''(0) \neq 0): en una cúbica podría ser un punto de inflexión de tangente horizontal.
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