Derivadas y aplicaciones

Sea $f(x) = e^{-x}(x - 1)$, continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos como un producto:$$f'(x) = -e^{-x}(x - 1) + e^{-x}\cdot 1 = e^{-x}(-x + 1 + 1) = e^{-x}(2 - x)$$Como $e^{-x} > 0$ para todo $x$, el signo de $f'$ es el de $2 - x$:$$f'(x) = 0 \iff x = 2$$

• En $(-\infty, 2)$: $f'(x) > 0$, $f$ es creciente.
• En $(2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, $f$ es decreciente.

Por tanto $f$ tiene en $x = 2$ un máximo relativo que, al crecer antes y decrecer después en todo $\mathbb{R}$, es también su máximo absoluto:$$f(2) = e^{-2}(2 - 1) = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}1353$$Así, para todo $x \in \mathbb{R}$,$$e^{-x}(x - 1) = f(x) \le \frac{1}{e^2} < 1$$porque $e^2 > 1$. La función nunca toma el valor 1: la ecuación no tiene solución real.

Comportamiento en los extremos (completa la imagen de la gráfica): $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} e^{-x}(x - 1) = +\infty\cdot(-\infty) = -\infty$ y $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \frac{x - 1}{e^x} = 0$ (la exponencial crece más deprisa que el polinomio). La función sube desde $-\infty$ hasta $\frac{1}{e^2}$ y luego baja hacia 0 sin llegar nunca a 1.

Otra forma. Multiplicando por $e^x > 0$, la ecuación equivale a $x - 1 = e^x$, es decir, $g(x) = e^x - x + 1 = 0$. Como $g'(x) = e^x - 1$ se anula solo en $x = 0$, con $g$ decreciente antes y creciente después, el mínimo absoluto de $g$ es $g(0) = 2 > 0$: $g$ no se anula nunca.