Rectas y planos

a) Director de $r_1$: de las paramétricas, $r_1$ pasa por $A = (1, 0, k)$ con$$\vec u_1 = (0,\ k,\ -2)$$Director de $r_2$: producto vectorial de los normales $\vec n_1 = (1, 2, 2)$ y $\vec n_2 = (1, 1, 1)$:$$\vec u_2 = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 2)\,\vec i - (1 - 2)\,\vec j + (1 - 2)\,\vec k = (0,\ 1,\ -1)$$Los directores son proporcionales si$$\frac{k}{1} = \frac{-2}{-1} \;\Longrightarrow\; k = 2$$(las primeras coordenadas son las dos 0). Para cualquier otro $k$ las rectas no son paralelas.

Falta ver que con $k = 2$ no son la misma recta: el punto $A = (1, 0, 2)$ de $r_1$ no está en $r_2$, porque en el primer plano da $1 + 0 + 4 = 5 \neq -1$. Así que con $k = 2$ son paralelas y distintas.

b) Con $k = 2$ las rectas son paralelas distintas, así que existe un plano, y solo uno, que las contiene.

Necesitamos un punto de $r_2$ (con $k = 2$). Restando sus dos ecuaciones, $y + z = -3$, y entonces $x = 2 - (y + z) = 5$; tomando $y = 0$, $z = -3$:$$B = (5,\ 0,\ -3) \in r_2, \qquad \overrightarrow{AB} = (4,\ 0,\ -5)$$El plano pasa por $A = (1, 0, 2)$ y tiene como vectores directores $\vec u_2 = (0, 1, -1)$ y $\overrightarrow{AB}$. Su vector normal es$$\vec u_2 \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -5 \end{vmatrix} = (-5 - 0)\,\vec i - (0 + 4)\,\vec j + (0 - 4)\,\vec k = (-5,\ -4,\ -4)$$Tomamos $(5, 4, 4)$:$$5(x - 1) + 4(y - 0) + 4(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 5x + 4y + 4z - 13 = 0$$Otra forma (haz de planos). Los planos que contienen a $r_2$ son $(x + 2y + 2z + 1) + \lambda(x + y + z - 2) = 0$. Imponiendo que pase por $A = (1, 0, 2)$: $6 + \lambda\cdot 1 = 0$, $\lambda = -6$, y queda $-5x - 4y - 4z + 13 = 0$, el mismo plano.

Comprobación. $A$: $5 + 0 + 8 - 13 = 0$ ✓; $B$: $25 + 0 - 12 - 13 = 0$ ✓; y el director común es paralelo al plano: $(5, 4, 4)\cdot(0, 1, -1) = 0$ ✓.