Matemáticas IIFácil2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Castilla y León · 2024 · Junio

Enunciado

Hallar el punto simétrico del punto

P = (1, 0, -1)

respecto de la recta

r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{P' = \left(\frac{5}{9},\ -\frac{8}{9},\ \frac{1}{9}\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico

P'

cumple que el punto medio de

PP'

está en

r

y que

PP'

es perpendicular a

r

. El plan clásico: trazamos el plano

\pi

que pasa por

P

y es perpendicular a

r

(su vector normal es el director de

r

), lo cortamos con

r

para obtener la proyección

H

P

sobre la recta, y como

H

es el punto medio de

P

P'

, despejamos

P' = 2H - P

Desarrollo

Datos de la recta. De la ecuación continua,

r

pasa por

Q = (1, 0, 0)

con vector director

\vec u = (1, 2, 2)

. En paramétricas:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2t \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}

Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su vector normal es

\vec u = (1, 2, 2)

\pi \equiv x + 2y + 2z + D = 0, \qquad P \in \pi:\ 1 + 0 - 2 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 1

\pi \equiv x + 2y + 2z + 1 = 0

Proyección $H = r \cap \pi$ . Sustituimos las paramétricas de

r

\pi

(1 + t) + 2(2t) + 2(2t) + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; 9t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{2}{9}

H = \left(1 - \frac{2}{9},\ -\frac{4}{9},\ -\frac{4}{9}\right) = \left(\frac{7}{9},\ -\frac{4}{9},\ -\frac{4}{9}\right)

Simétrico.

H

es el punto medio de

P

P'

, así que

P' = 2H - P

P' = \left(\frac{14}{9} - 1,\ -\frac{8}{9} - 0,\ -\frac{8}{9} + 1\right) = \left(\frac{5}{9},\ -\frac{8}{9},\ \frac{1}{9}\right)

Comprobación. El vector

\overrightarrow{PP'} = \left(-\frac{4}{9}, -\frac{8}{9}, \frac{10}{9}\right)

es perpendicular a

r

\overrightarrow{PP'}\cdot\vec u = -\frac{4}{9} - \frac{16}{9} + \frac{20}{9} = 0

✓, y el punto medio de

P

P'

\left(\frac{1 + 5/9}{2}, -\frac{4}{9}, \frac{-1 + 1/9}{2}\right) = \left(\frac{7}{9}, -\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}\right) = H \in r

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Muchos alumnos dan $H$ como solución: $H$ es la proyección, el punto medio, no el simétrico. Termina siempre con $P' = 2H - P$ .

Comprobar es muy rápido: $\overrightarrow{PP'}$ tiene que ser perpendicular al director de la recta y el punto medio tiene que cumplir la ecuación de $r$ .