Sistemas de ecuaciones

a) La matriz de coeficientes es$$A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 2a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}$$y, como el sistema es homogéneo, la ampliada solo añade una columna de ceros: $\operatorname{rg}(A^*) = \operatorname{rg}(A)$ siempre, y el sistema siempre es compatible.

Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot(a - 0) - \frac{1}{2}\cdot(2a\cdot a - 0) + 1\cdot(2a - 2) = a - a^2 + 2a - 2 = -a^2 + 3a - 2$$$$|A| = 0 \iff a^2 - 3a + 2 = 0 \iff (a - 1)(a - 2) = 0 \iff a = 1 \ \text{o}\ a = 2$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq 2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado, con la única solución $x = y = z = 0$.

Caso $a = 1$. $|A| = 0$ y el menor de las filas 2 y 3 con las columnas de $y$ y $z$ es$$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro).

Caso $a = 2$. La matriz es$$A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$$|A| = 0$ (la tercera fila es el doble de la primera) y el menor $\begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: también sistema compatible indeterminado.

b) Con $a = 1$ el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} x + \frac{y}{2} + z = 0 \\ 2x + y = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{array}\right.$$Por el apartado a) tiene rango 2, así que nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo (la segunda y la tercera). Restándolas, $z = 0$, y de la segunda, $y = -2x$. Tomando $x = \lambda$ como parámetro:$$x = \lambda, \qquad y = -2\lambda, \qquad z = 0, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. Primera ecuación: $\lambda + \frac{-2\lambda}{2} + 0 = 0$ ✓; segunda: $2\lambda - 2\lambda = 0$ ✓; tercera: $2\lambda - 2\lambda + 0 = 0$ ✓.