Probabilidad

Sucesos. $C$ = «convencional», $H$ = «híbrido», $E$ = «eléctrico» (forman un sistema completo) y $M$ = «potencia $\ge 140$ CV».$$P(C) = 0{,}5, \quad P(H) = 0{,}3, \quad P(E) = 0{,}2$$Las potencias $\ge 140$ CV son el complementario de las que tienen menos de 140 CV:$$P(M \mid C) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30, \quad P(M \mid H) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20, \quad P(M \mid E) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$$a) «Lo mismo para híbrido o eléctrico» pide la misma probabilidad para cada uno de los otros dos tipos. Son las ramas del árbol que acaban en $M$:$$P(C \cap M) = P(C)\,P(M \mid C) = 0{,}5\cdot 0{,}30 = 0{,}15$$$$P(H \cap M) = P(H)\,P(M \mid H) = 0{,}3\cdot 0{,}20 = 0{,}06$$$$P(E \cap M) = P(E)\,P(M \mid E) = 0{,}2\cdot 0{,}15 = 0{,}03$$Si la segunda pregunta se lee como «híbrido o eléctrico con potencia $\ge 140$ CV» (los dos tipos juntos), como $H$ y $E$ son incompatibles:$$P\bigl((H \cup E) \cap M\bigr) = 0{,}06 + 0{,}03 = 0{,}09$$b) Por el teorema de la probabilidad total:$$P(M) = P(C \cap M) + P(H \cap M) + P(E \cap M) = 0{,}15 + 0{,}06 + 0{,}03 = 0{,}24$$Por el teorema de Bayes:$$P(C \mid M) = \frac{P(C \cap M)}{P(M)} = \frac{0{,}15}{0{,}24} = \frac{5}{8} = 0{,}625$$Comprobación de sentido. Los convencionales son la mitad de la producción y además los que más a menudo superan los 140 CV, así que es lógico que sean más de la mitad de los coches potentes: $62{,}5\ \%$. Las tres probabilidades a posteriori suman $\frac{0{,}15 + 0{,}06 + 0{,}03}{0{,}24} = 1$ ✓.