Matemáticas IIMedio2 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla y León · 2024 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Dada la función

f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2 - 3x + 2}

, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales.

b) (1 punto) Calcular

\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 3x + 2}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \operatorname{Dom} f = (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty);\ \text{A.V.: } x = 0,\ x = 2;\ \text{A.H.: } y = 0 \ (x \to +\infty)}

\boxed{\text{b)}\ \int \frac{dx}{x^2 - 3x + 2} = \ln\left|\frac{x - 2}{x - 1}\right| + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el dominio exige dos cosas: que exista el logaritmo (

x > 0

) y que no se anule el denominador. Las asíntotas verticales hay que buscarlas en los bordes del dominio (

x = 0

) y en los ceros del denominador (

x = 1

x = 2

), pero solo son asíntota si el límite es infinito: en

x = 1

también se anula el numerador y hay que calcular el límite. La horizontal sale del límite en

+\infty

(la función no está definida hacia

-\infty

).

En b) es una integral racional con denominador de raíces reales simples: se descompone en fracciones simples.

Desarrollo

a) Factorizamos el denominador:

x^2 - 3x + 2 = 0 \iff x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}

, es decir,

x = 1

x = 2

f(x) = \frac{\ln x}{(x - 1)(x - 2)}

Dominio.

\ln x

existe si

x > 0

, y el denominador se anula en

x = 1

x = 2

\operatorname{Dom} f = (0, +\infty) - \{1, 2\} = (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)

Asíntotas verticales.

En $x = 0$ (solo por la derecha): $\ln x \to -\infty$ y el denominador tiende a $(-1)(-2) = 2$ , luego

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{-\infty}{2} = -\infty

$x = 0$ es asíntota vertical.

En $x = 1$ : numerador y denominador tienden a $0$ . Con L'Hôpital, $\lim_{x \to 1}\frac{\ln x}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{1/x}{1} = 1$ , así que

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}\cdot\frac{1}{x - 2} = 1\cdot\frac{1}{-1} = -1

El límite es finito: en $x = 1$ no hay asíntota (es una discontinuidad evitable).

En $x = 2$ : el numerador tiende a $\ln 2 > 0$ y el denominador a $0$ . Estudiamos el signo de $(x - 1)(x - 2)$ : es negativo a la izquierda de $2$ y positivo a la derecha.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty

$x = 2$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. Solo tiene sentido

x \to +\infty

. Es una indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

; con L'Hôpital:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{2x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2 - 3x} = 0

$y = 0$ es asíntota horizontal cuando

x \to +\infty

(el logaritmo crece mucho más despacio que

x^2

).

b) Descomponemos en fracciones simples:

\frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} \;\Longrightarrow\; 1 = A(x - 2) + B(x - 1)

Con

x = 2

1 = B

. Con

x = 1

1 = -A

, luego

A = -1

. Entonces

\int \frac{1}{x^2 - 3x + 2}\,dx = \int \left(\frac{-1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right)dx = -\ln|x - 1| + \ln|x - 2| + C = \ln\left|\frac{x - 2}{x - 1}\right| + C

Comprobación. Derivando:

-\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{-(x - 2) + (x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2}

✓.

Consejo

Un cero del denominador no es automáticamente una asíntota vertical: aquí en $x = 1$ también se anula $\ln x$ y el límite vale $-1$ . Calcula siempre el límite antes de afirmarlo.

No olvides $x = 0$ : es un borde del dominio por culpa del logaritmo, y ahí la función se va a $-\infty$ . Es la asíntota que más se deja la gente.