Calcular los valores de a, b y c para los cuales la función f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, tiene extremos relativos en x = 0 y x = 2 y además la gráfica de f(x) corta al eje de abscisas para x = 1.

Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2024 · Julio

Enunciado

Calcular los valores de

a

b

c

para los cuales la función

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

, tiene extremos relativos en

x = 0

x = 2

y además la gráfica de

f(x)

corta al eje de abscisas para

x = 1

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Resultado

\boxed{\;a = -3, \quad b = 0, \quad c = 2 \qquad f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\;}

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Estrategia

Cada dato del enunciado es una ecuación. Como

f

es un polinomio (derivable en todo

\mathbb{R}

), tener un extremo relativo en un punto obliga a que la derivada se anule allí:

f'(0) = 0

f'(2) = 0

. Cortar al eje de abscisas en

x = 1

significa

f(1) = 0

. Resolvemos el sistema y comprobamos con la derivada segunda que los dos puntos son de verdad extremos.

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

Condiciones.

Extremo en $x = 0$ : $f'(0) = b = 0$ .
Extremo en $x = 2$ : $f'(2) = 12 + 4a + b = 0$ .
Corte con el eje $OX$ en $x = 1$ : $f(1) = 1 + a + b + c = 0$ .

Resolución. De la primera,

b = 0

. Sustituyendo en la segunda,

12 + 4a = 0

, luego

a = -3

. De la tercera,

1 - 3 + 0 + c = 0

, luego

c = 2

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

Comprobación de que son extremos.

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)

se anula en

x = 0

x = 2

. Con la derivada segunda,

f''(x) = 6x - 6

f''(0) = -6 < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo relativo en } x = 0, \qquad f''(2) = 6 > 0 \;\Rightarrow\; \text{mínimo relativo en } x = 2

(La condición

f'(x_0) = 0

es necesaria pero no suficiente: por eso conviene comprobarlo.) Y

f(1) = 1 - 3 + 2 = 0

✓: la gráfica corta al eje de abscisas en

x = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Tiene un extremo en $x_0$ » se traduce en $f'(x_0) = 0$ , y «corta al eje de abscisas en $x_0$ » en $f(x_0) = 0$ : no confundas cuál de las dos funciones se iguala a cero.

Termina comprobando con $f''$ (o con el signo de $f'$ ) que los puntos son máximo y mínimo: $f'(x_0) = 0$ también ocurre en puntos de inflexión.