Matemáticas IIMedio2 pts

Límites y continuidad

Castilla y León · 2024 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{\cos x - a}{bx^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{array}\right.

¿qué valores tienen que tomar los parámetros

a \in \mathbb{R}

b \in \mathbb{R} - \{0\}

para que esta función sea continua en todo

\mathbb{R}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = 1, \qquad b = -\frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Fuera de

x = 0

la función es un cociente de funciones continuas con denominador no nulo, así que es continua. Todo se decide en

x = 0

: hay que exigir

\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1

. Primero vemos que, para que el límite sea finito, el numerador tiene que anularse en

0

(eso fija

a

); después resolvemos la indeterminación

0/0

con L'Hôpital y lo igualamos a

1

(eso fija

b

Desarrollo

Continuidad en $x \neq 0$ . Para

x \neq 0

f(x) = \dfrac{\cos x - a}{bx^2}

es cociente de funciones continuas y el denominador

bx^2

no se anula (porque

b \neq 0

x \neq 0

). Luego

f

es continua en

\mathbb{R} - \{0\}

para cualesquiera

a

b \neq 0

.

Continuidad en $x = 0$ . Necesitamos

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - a}{bx^2} = f(0) = 1

El denominador tiende a

0

. El numerador tiende a

\cos 0 - a = 1 - a

Si $a \neq 1$ , el numerador tiende a $1 - a \neq 0$ y el denominador a $0$ : el límite es infinito y $f$ no puede ser continua en $0$ .
Por tanto, necesariamente $a = 1$ , y entonces aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$ .

Con

a = 1

aplicamos la regla de L'Hôpital (numerador y denominador son derivables y se anulan en

0

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{bx^2} \overset{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{sen} x}{2bx} \overset{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2b} = -\frac{1}{2b}

Imponemos que valga

f(0) = 1

-\frac{1}{2b} = 1 \;\Longrightarrow\; 2b = -1 \;\Longrightarrow\; b = -\frac{1}{2}

que cumple

b \neq 0

.

Comprobación. Con

a = 1

b = -\frac{1}{2}

f(x) = \dfrac{\cos x - 1}{-x^2/2} = \dfrac{2(1 - \cos x)}{x^2}

para

x \neq 0

. Como

1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}

cuando

x \to 0

, el límite es

\frac{2\cdot x^2/2}{x^2} = 1 = f(0)

✓.

Consejo

Antes de aplicar L'Hôpital comprueba que hay indeterminación: aquí, si no impones primero $a = 1$ , el límite no es $0/0$ y la regla no se puede usar. Razonar por qué $a$ tiene que valer 1 es parte de la nota.

Un recurso rápido para comprobar: $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ cuando $x \to 0$ .