Límites y continuidad

Existencia (teorema de Bolzano). $f$ es suma de una exponencial y un polinomio, así que es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[0, 1]$. Evaluamos en los extremos:$$f(0) = e^0 + 0 - 2 = -1 < 0, \qquad f(1) = e + 1 - 2 = e - 1 \approx 1{,}718 > 0$$$f$ es continua en $[0, 1]$ y $f(0)\cdot f(1) < 0$. Por el teorema de Bolzano, existe $c \in (0, 1)$ con $f(c) = 0$.

Unicidad (monotonía). Derivamos:$$f'(x) = e^x + 3x^2$$Para todo $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ y $3x^2 \ge 0$, luego $f'(x) > 0$. Por tanto $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$: si $x_1 < x_2$, entonces $f(x_1) < f(x_2)$, y no puede haber dos valores distintos con $f(x_1) = f(x_2) = 0$.

(También se puede razonar por reducción al absurdo con el teorema de Rolle: si hubiera dos ceros $x_1 < x_2$, como $f$ es continua y derivable, existiría $d \in (x_1, x_2)$ con $f'(d) = 0$, lo que es imposible porque $f' > 0$.)

Conclusión. $f$ se anula en un único punto $c$, que además está en $(0, 1)$. Numéricamente, $c \approx 0{,}587$.