Determinar el plano que pasa por los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (3, -1, 1) y es paralelo a la recta r \equiv x - 1 = y = z.

Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2024 · Julio

Enunciado

Determinar el plano que pasa por los puntos

P = (1, 1, 2)

Q = (3, -1, 1)

y es paralelo a la recta

r \equiv x - 1 = y = z

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi \equiv x + 3y - 4z + 4 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos. Como pasa por

P

Q

, el vector

\overrightarrow{PQ}

está en el plano; como es paralelo a

r

, el director de

r

también es un vector del plano. Su producto vectorial da el vector normal, y con el punto

P

escribimos la ecuación general.

Desarrollo

Vectores del plano.

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (3 - 1,\ -1 - 1,\ 1 - 2) = (2, -2, -1)

La recta

r \equiv \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}

pasa por

(1, 0, 0)

y tiene director

\vec u_r = (1, 1, 1)

.

Los dos vectores no son proporcionales (

\frac{2}{1} \neq \frac{-2}{1}

), así que determinan un plano.

Vector normal.

\vec n = \overrightarrow{PQ} \times \vec u_r = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \bigl((-2)\cdot 1 - (-1)\cdot 1,\ -(2\cdot 1 - (-1)\cdot 1),\ 2\cdot 1 - (-2)\cdot 1\bigr) = (-1, -3, 4)

Podemos usar el proporcional

(1, 3, -4)

.

Ecuación del plano. Con el normal

(1, 3, -4)

y el punto

P = (1, 1, 2)

1\cdot(x - 1) + 3\cdot(y - 1) - 4\cdot(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x + 3y - 4z + 4 = 0

Equivalentemente, en forma de determinante:

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0

Comprobación.

$P$ : $1 + 3 - 8 + 4 = 0$ ✓.
$Q$ : $3 - 3 - 4 + 4 = 0$ ✓.
Paralelo a $r$ : $\vec n \cdot \vec u_r = 1 + 3 - 4 = 0$ ✓. Además el punto $(1, 0, 0)$ de $r$ no está en el plano ( $1 + 0 - 0 + 4 = 5 \neq 0$ ), así que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Paralelo a la recta» significa que el director de la recta es un vector del plano, no su normal: es una confusión frecuente que lleva a un plano perpendicular a la recta.

Comprueba al final que los dos puntos cumplen la ecuación y que $\vec n \cdot \vec u_r = 0$ ; es la forma más rápida de detectar un signo cambiado en el producto vectorial.