Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2024 · Julio

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

, hallar la matriz

X

tal que

AB + CX = D

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;X = C^{-1}(D - AB) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una ecuación matricial lineal en

X

. Despejamos primero el término con

X

CX = D - AB

. Como

C

es cuadrada, si es invertible multiplicamos por la izquierda por

C^{-1}

(el orden importa, porque el producto de matrices no es conmutativo):

X = C^{-1}(D - AB)

. Solo queda calcular

AB

D - AB

C^{-1}

Desarrollo

Despeje.

AB + CX = D \;\Longrightarrow\; CX = D - AB \;\Longrightarrow\; X = C^{-1}(D - AB)

siempre que

C

sea invertible.

X

ha de ser

2 \times 2

C

2\times 2

D - AB

también.

Producto $AB$ .

A

2\times 3

B

3\times 2

, así que

AB

2\times 2

AB = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot(-1) & 1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \\ 1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot(-1) & 1\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

D - AB = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Inversa de $C$ .

|C| = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 0 = 1 \neq 0

, luego

C

es invertible. Con la matriz de adjuntos:

\operatorname{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C^{-1} = \frac{1}{|C|}\operatorname{Adj}(C)^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobamos:

C\,C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

✓.

Solución. Como

D - AB = I

X = C^{-1}\cdot I = C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

AB + CX = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = D \ ✓

Consejo

El error típico es escribir $X = (D - AB)\,C^{-1}$ : como $C$ multiplica a $X$ por la izquierda, $C^{-1}$ tiene que ir también por la izquierda. Escribe el despeje paso a paso antes de operar.

Comprueba siempre la inversa ( $C\,C^{-1} = I$ ) y, al final, la ecuación original: cuesta un minuto y salva el ejercicio entero.