Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & \lambda & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera columna (tiene un cero):$$|A| = \lambda\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} + 0 = \lambda(\lambda - 4) + (\lambda + 2) = \lambda^2 - 3\lambda + 2$$$$|A| = 0 \iff \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \iff (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0 \iff \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = 2$$Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila y las columnas que faltan: con la de $z$ sale $|A| = 0$, y con la de términos independientes$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 - 0) - 1\cdot(-1 - 0) + 1\cdot(-2 - 0) = 1 + 1 - 2 = 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro).

Caso $\lambda = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlando con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot(1 - 0) - 1\cdot(-1 - 0) + 1\cdot(-2 - 0) = 2 + 1 - 2 = 1 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.

b) Con $\lambda = 1$ el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación depende de las dos primeras (las dos primeras filas de $A$ son independientes). Nos quedamos con$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 + z \\ -x + y = -2z \end{array}\right.$$y tomamos $z = t$ como parámetro. Sumando las dos ecuaciones, $2y = 1 - t$, es decir, $y = \dfrac{1 - t}{2}$. Restándolas, $2x = 1 + 3t$, es decir, $x = \dfrac{1 + 3t}{2}$.$$(x, y, z) = \left(\frac{1 + 3t}{2},\ \frac{1 - t}{2},\ t\right), \quad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. Primera: $\frac{1 + 3t}{2} + \frac{1 - t}{2} - t = \frac{2 + 2t}{2} - t = 1$ ✓. Segunda: $-\frac{1 + 3t}{2} + \frac{1 - t}{2} + 2t = \frac{-4t}{2} + 2t = 0$ ✓. Tercera: $2\cdot\frac{1 - t}{2} + t = 1$ ✓.