Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

a) En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60% juega al tenis, el 25% practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21% de los socios que juegan al tenis, el 30% de los que practican natación y el 12% de los que practican el golf.

a.1) (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.

a.2) (0,75 puntos) Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.

b) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.

b.1) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

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Resultado

\boxed{\text{a.1) } P(R) = 0{,}219 \qquad \text{a.2) } P(N \mid R) = \frac{25}{73} \approx 0{,}3425}

\boxed{\text{b.1) } P(X < 50) = 0{,}1056 \qquad \text{b.2) } P(50 < X < 66) = 0{,}6678}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Los tres deportes forman una partición (cada socio practica exactamente uno), así que la probabilidad de tener premio se calcula con el teorema de la probabilidad total: se suman las ramas del árbol que acaban en «premio». En a.2) nos dan el efecto (tiene premio) y preguntan por la causa (natación): es el teorema de Bayes, que reutiliza las cuentas de a.1).

b) Con

X \sim N(60, 8)

tipificamos,

Z = \frac{X - 60}{8}

, y leemos la tabla de la

N(0, 1)

. La tabla solo trae valores positivos de

z

, así que para

z < 0

usamos la simetría de la normal:

P(Z < -k) = 1 - P(Z < k)

Desarrollo

a) Sucesos:

T

= juega al tenis,

N

= practica natación,

G

= juega al golf,

R

= ha obtenido algún premio. Datos:

P(T) = 0{,}60, \quad P(N) = 0{,}25, \quad P(G) = 1 - 0{,}60 - 0{,}25 = 0{,}15

P(R \mid T) = 0{,}21, \quad P(R \mid N) = 0{,}30, \quad P(R \mid G) = 0{,}12

Deporte	$P(\text{deporte})$	$P(R \mid \text{deporte})$	$P(\text{deporte} \cap R)$
Tenis	$0{,}60$	$0{,}21$	$0{,}126$
Natación	$0{,}25$	$0{,}30$	$0{,}075$
Golf	$0{,}15$	$0{,}12$	$0{,}018$

a.1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(R) = P(T)P(R \mid T) + P(N)P(R \mid N) + P(G)P(R \mid G) = 0{,}60\cdot 0{,}21 + 0{,}25\cdot 0{,}30 + 0{,}15\cdot 0{,}12

P(R) = 0{,}126 + 0{,}075 + 0{,}018 = 0{,}219

a.2) Por el teorema de Bayes:

P(N \mid R) = \frac{P(N)\,P(R \mid N)}{P(R)} = \frac{0{,}075}{0{,}219} = \frac{75}{219} = \frac{25}{73} \approx 0{,}3425

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b) Sea

X

= tiempo (en minutos) en recorrer 5 km,

X \sim N(60, 8)

. Tipificamos con

Z = \dfrac{X - 60}{8} \sim N(0, 1)

x = 50 \;\Longrightarrow\; z = \frac{50 - 60}{8} = -1{,}25, \qquad x = 66 \;\Longrightarrow\; z = \frac{66 - 60}{8} = 0{,}75

b.1) Por la simetría de la normal y la tabla (

P(Z \le 1{,}25) = 0{,}8944

P(X < 50) = P(Z < -1{,}25) = P(Z > 1{,}25) = 1 - P(Z \le 1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056

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b.2) Con la tabla,

P(Z \le 0{,}75) = 0{,}7734

P(50 < X < 66) = P(-1{,}25 < Z < 0{,}75) = P(Z < 0{,}75) - P(Z < -1{,}25) = 0{,}7734 - 0{,}1056 = 0{,}6678

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Consejo

En a.2) no confundas $P(N \mid R)$ con $P(R \mid N) = 0{,}30$ : el enunciado dice «sabiendo que ha obtenido premio», así que lo conocido es $R$ y va en el denominador. Define los sucesos con letras al principio y la corrección lo agradece.

En b), la tabla solo tiene valores positivos de $z$ : escribe explícitamente el paso $P(Z < -1{,}25) = 1 - P(Z \le 1{,}25)$ . Un dibujo de la campana con la zona sombreada evita restar al revés en b.2).