Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

a) (1,25 puntos) Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

, con

a \in \mathbb{R}

. ¿Existe algún valor de

a

para el que la matriz

A

y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.

b) (1,25 puntos) Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto

A(1, 0, 0)

y que es perpendicular a los vectores

\vec{u} = (1, 2, 1)

\vec{v} = (1, 0, 0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Sí: solo } a = 0,\ \ A = A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b) } (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda(0, 1, -2), \ \text{ o bien } \ x = 1,\ 2y + z = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Primero vemos si

A

tiene inversa (determinante no nulo). Después hay dos caminos equivalentes: calcular

A^{-1}

en función de

a

e igualarla a

A

término a término, o usar que

A = A^{-1}

significa

A\cdot A = I

, es decir,

A^2 = I

.

b) Una recta perpendicular a dos vectores tiene como vector director uno perpendicular a ambos: su producto vectorial

\vec{u} \times \vec{v}

. Con el punto

A

y ese director escribimos la recta.

Desarrollo

a) Determinante:

|A| = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = a\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1 \neq 0

Así que

A

es invertible para todo

a \in \mathbb{R}

. Su inversa, por adjuntos,

A^{-1} = \frac{1}{|A|}(\operatorname{Adj} A)^t

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & a \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}

Igualamos

A = A^{-1}

\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} a = 0 \\ 0 = -a \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; a = 0

Comprobación por el otro camino:

A = A^{-1} \iff A^2 = I

, y

A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 1 & a \\ a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \iff a^2 + 1 = 1 \ \text{ y } \ a = 0 \iff a = 0

Por tanto sí existe un único valor,

a = 0

: la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

es su propia inversa (intercambia las dos coordenadas, y hacerlo dos veces deja todo igual).

b) Vector director, perpendicular a

\vec{u}

y a

\vec{v}

\vec{d} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (2\cdot 0 - 1\cdot 0)\,\vec{i} - (1\cdot 0 - 1\cdot 1)\,\vec{j} + (1\cdot 0 - 2\cdot 1)\,\vec{k} = (0,\ 1,\ -2)

Comprobación:

\vec{d}\cdot\vec{u} = 0 + 2 - 2 = 0 \;\checkmark

\vec{d}\cdot\vec{v} = 0 + 0 + 0 = 0 \;\checkmark

.

Recta que pasa por

A(1, 0, 0)

con director

(0, 1, -2)

(x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda(0, 1, -2) \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = -2\lambda \end{array}\right. \quad \lambda \in \mathbb{R}

Como la primera componente del director es 0, la forma continua se escribe con

x = 1

aparte; en implícitas (corte de dos planos):

r: \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ 2y + z = 0 \end{array}\right.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), antes de hablar de la inversa comprueba que existe: aquí $|A| = -1$ para todo $a$ . Y no te limites a encontrar $a = 0$ : el enunciado pide justificar, así que muestra que es el único valor (todas las entradas deben coincidir a la vez).

En b), «perpendicular a dos vectores» es la señal para usar el producto vectorial. Si te sale el vector nulo, revisa: significaría que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son paralelos.