Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Calcula los coeficientes

a, b, c \in \mathbb{R}

de la función

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa

x = 2

y un punto de inflexión en

P(1, 2)

. Justifica tu respuesta.

b) Sean dos sucesos

A

B

tales que

P(A) = 0{,}2

;

P(A \cap B) = 0{,}1

P(A \cup B) = 0{,}3

. Calcula:

b.1) (0,75 puntos)

P(B)

P(A \cap \overline{B})

, con

\overline{B}

el suceso complementario de

B

.

b.2) (0,75 puntos)

P(A \mid B)

P(B \mid A)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a = -3,\ b = 0,\ c = 4:\quad f(x) = x^3 - 3x^2 + 4}

\boxed{\text{b.1) } P(B) = 0{,}2,\ P(A \cap \overline{B}) = 0{,}1 \qquad \text{b.2) } P(A \mid B) = P(B \mid A) = 0{,}5}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Cada dato del enunciado es una ecuación:

extremo relativo en $x = 2$ $\Rightarrow$ $f'(2) = 0$ ;
punto de inflexión en $x = 1$ $\Rightarrow$ $f''(1) = 0$ ;
el punto $P(1, 2)$ está en la gráfica $\Rightarrow$ $f(1) = 2$ .

Tres ecuaciones para tres incógnitas. Al final justificamos que de verdad hay extremo en

x = 2

e inflexión en

x = 1

(que la derivada se anule no basta).

b) Fórmula de la unión para despejar

P(B)

, la diferencia

A \cap \overline{B} = A - (A \cap B)

y la definición de probabilidad condicionada.

Desarrollo

a) Derivadas:

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b, \qquad f''(x) = 6x + 2a

Condiciones:

f''(1) = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

f'(2) = 0 \;\Longrightarrow\; 12 + 4a + b = 0 \;\Longrightarrow\; 12 - 12 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

f(1) = 2 \;\Longrightarrow\; 1 + a + b + c = 2 \;\Longrightarrow\; 1 - 3 + 0 + c = 2 \;\Longrightarrow\; c = 4

La función es

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

.

Justificación.

$f''(x) = 6x - 6$ , y $f''(2) = 6 > 0$ : en $x = 2$ hay un mínimo relativo, con $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ .
$f''(1) = 0$ y $f'''(x) = 6 \neq 0$ (equivalentemente, $f''$ cambia de signo en $x = 1$ : negativa antes, positiva después): en $x = 1$ hay un punto de inflexión, y $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$ , así que es $P(1, 2) \;\checkmark$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b.1) De la fórmula de la probabilidad de la unión,

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

0{,}3 = 0{,}2 + P(B) - 0{,}1 \;\Longrightarrow\; P(B) = 0{,}3 - 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}2

A \cap \overline{B}

es «ocurre

A

pero no

B

», es decir,

A

menos la parte común:

P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}1

b.2) Por la definición de probabilidad condicionada (las probabilidades de los denominadores no son nulas):

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5

Salen iguales porque, en este caso,

P(A) = P(B) = 0{,}2

Consejo

En a) el error típico es usar mal el punto de inflexión: da dos condiciones, $f''(1) = 0$ (es inflexión) y $f(1) = 2$ (la gráfica pasa por $P$ ). El extremo en $x = 2$ solo da una, $f'(2) = 0$ , porque no se dice la ordenada.

El enunciado pide «Justifica tu respuesta»: comprueba con $f''$ (o $f'''$ ) que el extremo y la inflexión existen de verdad; si no, el apartado no tiene la nota completa.