a) (1 punto) Calcula la siguiente integral: \displaystyle\int x\sqrt{2x + 3}\,dx. Puedes utilizar el cambio de variable t = \sqrt{2x + 3}. b) (1,5 puntos) Sean los vectores \vec{u} = (1, a, a) y \vec{v} = (-1, 0, 2), con a \in \mathbb{R}. Determina el valor de a para que el ángulo entre los vectores \vec{u} y \vec{v} sea de 60^\circ.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

También trata: Integrales

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Calcula la siguiente integral:

\displaystyle\int x\sqrt{2x + 3}\,dx

. Puedes utilizar el cambio de variable

t = \sqrt{2x + 3}

.

b) (1,5 puntos) Sean los vectores

\vec{u} = (1, a, a)

\vec{v} = (-1, 0, 2)

, con

a \in \mathbb{R}

. Determina el valor de

a

para que el ángulo entre los vectores

\vec{u}

\vec{v}

sea de

60^\circ

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \int x\sqrt{2x + 3}\,dx = \frac{(2x + 3)^{5/2}}{10} - \frac{(2x + 3)^{3/2}}{2} + C = \frac{(x - 1)(2x + 3)^{3/2}}{5} + C}

\boxed{\text{b) } a = \frac{8 + \sqrt{70}}{6} \approx 2{,}73}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El cambio

t = \sqrt{2x + 3}

quita la raíz: elevando al cuadrado,

t^2 = 2x + 3

, de donde despejamos

x

dx

en función de

t

. La integral se convierte en la de un polinomio en

t

, y al final deshacemos el cambio.

b) El ángulo entre dos vectores sale del producto escalar:

\cos\alpha = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}

Imponemos

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

y nos queda una ecuación con una raíz. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas (las que dan un ángulo de

120^\circ

, con coseno

-\frac{1}{2}

), así que hay que comprobar el signo.

Desarrollo

a) Cambio de variable:

t = \sqrt{2x + 3} \;\Longrightarrow\; t^2 = 2x + 3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{t^2 - 3}{2}, \qquad dx = t\,dt

Sustituimos:

\int x\sqrt{2x + 3}\,dx = \int \frac{t^2 - 3}{2}\cdot t\cdot t\,dt = \frac{1}{2}\int (t^4 - 3t^2)\,dt = \frac{1}{2}\left(\frac{t^5}{5} - t^3\right) + C = \frac{t^5}{10} - \frac{t^3}{2} + C

Deshacemos el cambio (

t = \sqrt{2x + 3}

\int x\sqrt{2x + 3}\,dx = \frac{(2x + 3)^{5/2}}{10} - \frac{(2x + 3)^{3/2}}{2} + C

Sacando factor común

(2x + 3)^{3/2}

se puede simplificar:

\frac{(2x + 3)^{3/2}}{10}\bigl[(2x + 3) - 5\bigr] + C = \frac{(2x + 3)^{3/2}(2x - 2)}{10} + C = \frac{(x - 1)\sqrt{(2x + 3)^3}}{5} + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[\frac{(x - 1)(2x + 3)^{3/2}}{5}\right] = \frac{(2x + 3)^{3/2} + (x - 1)\cdot\frac{3}{2}(2x + 3)^{1/2}\cdot 2}{5} = \frac{(2x + 3)^{1/2}\bigl[(2x + 3) + 3(x - 1)\bigr]}{5} = \frac{(2x + 3)^{1/2}\cdot 5x}{5} = x\sqrt{2x + 3}\ \checkmark

b) Calculamos el producto escalar y los módulos:

\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot(-1) + a\cdot 0 + a\cdot 2 = 2a - 1

|\vec{u}| = \sqrt{1 + a^2 + a^2} = \sqrt{1 + 2a^2}, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}

Imponemos que el ángulo sea

60^\circ

, es decir,

\cos\alpha = \frac{1}{2}

\frac{2a - 1}{\sqrt{5}\,\sqrt{1 + 2a^2}} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; 2(2a - 1) = \sqrt{5(1 + 2a^2)}

El segundo miembro es positivo, así que necesitamos

2a - 1 > 0

, es decir,

a > \frac{1}{2}

. Elevamos al cuadrado:

4(4a^2 - 4a + 1) = 5 + 10a^2 \;\Longrightarrow\; 16a^2 - 16a + 4 = 5 + 10a^2 \;\Longrightarrow\; 6a^2 - 16a - 1 = 0

a = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 24}}{12} = \frac{16 \pm \sqrt{280}}{12} = \frac{16 \pm 2\sqrt{70}}{12} = \frac{8 \pm \sqrt{70}}{6}

$a_1 = \dfrac{8 + \sqrt{70}}{6} \approx 2{,}728$ : cumple $a > \frac{1}{2}$ , así que es válida.
$a_2 = \dfrac{8 - \sqrt{70}}{6} \approx -0{,}061$ : da $2a - 1 < 0$ , es decir, $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ y el ángulo sería $120^\circ$ . Se descarta.

Comprobación numérica con

a \approx 2{,}728

\vec{u}\cdot\vec{v} \approx 4{,}456

|\vec{u}| \approx 3{,}985

|\vec{v}| \approx 2{,}236

, y

\frac{4{,}456}{3{,}985\cdot 2{,}236} \approx 0{,}500 \;\checkmark

Consejo

En b), al elevar al cuadrado se cuela una solución que corresponde a $120^\circ$ , no a $60^\circ$ . Comprueba siempre el signo de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ : para un ángulo agudo tiene que ser positivo. Dar las dos soluciones sin descartar ninguna resta puntos.

En a), no olvides cambiar también el $dx$ ( $dx = t\,dt$ ), ni deshacer el cambio al final, ni la constante $C$ .