Matrices

a) Cuando $x \to +\infty$, el numerador $e^x - 1 \to +\infty$ y el denominador $x^2 + 3 \to +\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Las dos funciones son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x}$$Sigue siendo $\frac{\infty}{\infty}$; aplicamos L'Hôpital otra vez:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty$$Luego$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3} = +\infty$$Es lo esperable: la exponencial es un infinito de orden superior a cualquier potencia de $x$.

b) Como $A$ tiene 3 filas y 4 columnas, $\operatorname{rg}(A) \le 3$.

Tomamos el menor de orden 3 formado por las columnas 2.ª, 3.ª y 4.ª, que no depende de $a$. Lo desarrollamos por la primera columna:$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 - 0) = 1 \neq 0$$Hay un menor de orden 3 no nulo para cualquier valor de $a$, luego$$\operatorname{rg}(A) = 3 \quad \text{para todo } a \in \mathbb{R}$$Observación. Los otros tres menores de orden 3 valen:$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ a & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = a$$El primero (columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª) es siempre cero porque en él la segunda fila es el doble de la primera, el segundo (columnas 1.ª, 2.ª y 4.ª) vale siempre $-1$ y el último (columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª) se anula para $a = 0$. Pero eso no baja el rango: para que el rango fuese menor que 3 harían falta todos los menores de orden 3 nulos, y el de las columnas 2.ª, 3.ª y 4.ª vale siempre 1. El parámetro, en este caso, no influye en el rango.