Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2024 · Junio

Enunciado

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas

A(2, -1, 3)

B(-2, 4, 5)

.

a) (1 punto) Determina la ecuación de la recta que representa la viga.

b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la longitud de la viga?

c) (1 punto) Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos

A

B

C(0, 0, 1)

. Determina el área de la placa triangular.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \frac{x - 2}{-4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{2}}

\boxed{\text{b) } |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \ \text{u} \qquad \text{c) Área} = 9 \ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale del vector

\overrightarrow{AB}

La viga está sobre la recta que pasa por $A$ con vector director $\overrightarrow{AB}$ .
Su longitud es la distancia entre $A$ y $B$ , es decir, el módulo de $\overrightarrow{AB}$ .
El área del triángulo $ABC$ es la mitad del módulo del producto vectorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ (el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que forman los dos vectores).

Desarrollo

a) Vector director de la recta:

\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 2,\ 4 - (-1),\ 5 - 3) = (-4,\ 5,\ 2)

Con el punto

A(2, -1, 3)

, la ecuación vectorial es

(x, y, z) = (2, -1, 3) + \lambda(-4, 5, 2), \qquad \lambda \in \mathbb{R}

En paramétricas y en forma continua:

\left\{\begin{array}{l} x = 2 - 4\lambda \\ y = -1 + 5\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{array}\right. \qquad\qquad \frac{x - 2}{-4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{2}

(Con

\lambda = 0

se obtiene

A

y con

\lambda = 1

se obtiene

B

: la viga es el segmento

0 \le \lambda \le 1

.)

b) La longitud de la viga es la distancia entre sus extremos:

d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \ \text{u}

c) Vectores desde

A

\overrightarrow{AB} = (-4, 5, 2), \qquad \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 2,\ 0 + 1,\ 1 - 3) = (-2, 1, -2)

Producto vectorial:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 5 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (5\cdot(-2) - 2\cdot 1)\,\vec{i} - ((-4)(-2) - 2\cdot(-2))\,\vec{j} + ((-4)\cdot 1 - 5\cdot(-2))\,\vec{k}

= (-10 - 2)\,\vec{i} - (8 + 4)\,\vec{j} + (-4 + 10)\,\vec{k} = (-12,\ -12,\ 6)

Su módulo:

|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{144 + 144 + 36} = \sqrt{324} = 18

Área del triángulo:

\text{Área} = \frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{18}{2} = 9 \ \text{u}^2

Comprobación: el producto vectorial es perpendicular a los dos vectores:

(-12, -12, 6)\cdot(-4, 5, 2) = 48 - 60 + 12 = 0 \;\checkmark

(-12, -12, 6)\cdot(-2, 1, -2) = 24 - 12 - 12 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En c) el error típico es olvidar el $\frac{1}{2}$ : el módulo del producto vectorial da el área del paralelogramo, y el triángulo es la mitad. Cuida también el signo del término en $\vec{j}$ al desarrollar el determinante.

Comprobar que el producto vectorial es perpendicular a los dos vectores (producto escalar nulo) cuesta diez segundos y detecta casi cualquier error de cuentas.