Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de 1 dm3 (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.Prisma de base cuadrada de lado x y altura ya) (1 punto) Determina la función de la superficie del envase en función de x (incluidas las dos bases).
b) (1 punto) Calcula, razonadamente, los valores de x e y, para que la superficie sea mínima.
c) (0,5 puntos) Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el dm2.
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Resultado
a) S(x)=2x2+x4,x>0b) x=1dm,y=1dmc) S=6dm2,coste=30euros
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Estrategia
Es la optimización clásica de una caja. La superficie depende de dos medidas, el lado de la base x y la altura y, pero no son libres: el volumen tiene que ser 1 dm3. Esa condición de enlace (x2y=1) permite despejar y y dejar la superficie en función solo de x.
Después derivamos, igualamos a cero y comprobamos con la segunda derivada (o con el signo de la primera) que el punto crítico es un mínimo. Trabajamos en dm, así que la superficie sale en dm2 y el coste es de 5 euros por cada dm2.
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Desarrollo
a) El envase tiene dos bases cuadradas de lado x y cuatro caras laterales rectangulares de lados x e y (en dm):S=2x2+4xyLa condición de volumen relaciona las dos variables:V=x2y=1⟹y=x21Sustituyendo:S(x)=2x2+4x⋅x21=2x2+x4,x>0(el lado de la base tiene que ser positivo).
b) Derivamos:S′(x)=4x−x24=x24x3−4S′(x)=0⟹4x3−4=0⟹x3=1⟹x=1Comprobamos que es un mínimo con la segunda derivada:S′′(x)=4+x38,S′′(1)=4+8=12>0⟹mıˊnimo relativo en x=1Además, como el denominador x2 es positivo, S′(x)<0 si 0<x<1 y S′(x)>0 si x>1: la función decrece y luego crece, así que x=1 es el mínimo absoluto en (0,+∞).
La altura correspondiente esy=121=1dmEl envase óptimo es, por tanto, un cubo de 1 dm de arista.
c) Superficie de cada envase:S(1)=2⋅12+14=6dm2Coste del material:6dm2⋅5dm2euros=30euros
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Consejo
Muchos alumnos olvidan las dos bases y escriben S=x2+4xy: el enunciado insiste en «incluidas las dos bases». Lee bien qué caras tiene el envase antes de sumar áreas.
En b) no basta con resolver S′(x)=0: hay que justificar que es un mínimo (segunda derivada o signo de S′). Y no olvides dar también y, que el enunciado pide las dos medidas.
Paso 1 de 3
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