Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 & a \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la tercera columna (o por Sarrus):$$|A| = a(a - 2) - 2(2 - 5) + 1(4 - 5a) = a^2 - 2a + 6 + 4 - 5a = a^2 - 7a + 10$$$$a^2 - 7a + 10 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; a = 2 \ \text{ o } \ a = 5$$Es decir, $|A| = (a - 2)(a - 5)$.

• Si $a \neq 2$ y $a \neq 5$: $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas. Sistema compatible determinado: una única solución.

• Si $a = 2$: el sistema queda

$$\left\{\begin{array}{l} 2x + 2y + z = 1 \\ 2x + 2y + z = 2 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$Las dos primeras ecuaciones tienen el mismo primer miembro y distinto segundo miembro ($1 \neq 2$): son incompatibles. En términos de rangos: $\operatorname{rg}(A) = 2$, porque $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 10 = -6 \neq 0$; y en la ampliada el menor formado por las columnas de $y$, $z$ y términos independientes vale$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$(filas 1 y 3 iguales), pero el de las columnas de $x$, $z$ y términos independientes vale$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1 - 2) - 1(2 - 10) + 1(2 - 5) = -2 + 8 - 3 = 3 \neq 0,$$así que $\operatorname{rg}(A^*) = 3$. Como $\operatorname{rg}(A) = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}(A^*)$, el sistema es incompatible: no tiene solución.

• Si $a = 5$: el sistema queda

$$\left\{\begin{array}{l} 5x + 2y + z = 1 \\ 2x + 5y + z = 5 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$La primera y la tercera ecuación son idénticas, así que sobra una. Las dos que quedan no son proporcionales ($\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 21 \neq 0$), luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$. Sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones (dependientes de un parámetro).

b) Para $a = 1$ (que no es ni 2 ni 5, así que hay solución única):$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$Restamos la primera ecuación a la tercera: $E_3 - E_1$ da $4x = 0$, así que $x = 0$. Sustituyendo en las dos primeras:$$\left\{\begin{array}{l} 2y + z = 1 \\ y + z = 1 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; (2y + z) - (y + z) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0, \quad z = 1$$Comprobación: $0 + 0 + 1 = 1 \;\checkmark$; $0 + 0 + 1 = 1 = a \;\checkmark$; $0 + 0 + 1 = 1 \;\checkmark$.