Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2024 · Julio

Enunciado

a) Se tienen tres cajas A, B y C. En la caja A hay dos cartas de espadas y tres de copas. En la caja B, tres cartas de espadas y dos de copas y en la caja C, cuatro de espadas y una de copas. Se tira un dado de seis caras y, si el resultado es impar, se saca una carta de la caja A; si el resultado es 4 o 6, se saca una carta de la caja B y, si el resultado es 2, se saca una carta de la caja C.

a.1) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de copas.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la carta extraída es de copas, ¿cuál es la probabilidad que se haya extraído de la caja B?

b) La probabilidad de que un paracaidista novato caiga en el punto correcto es de 0,25. Si se lanza 5 veces, determina:

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto exactamente dos veces?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto al menos una vez?

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 5

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a.1) } P(Co) = \frac{7}{15} \approx 0{,}4667 \qquad \text{a.2) } P(B \mid Co) = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857}

\boxed{\text{b.1) } P(X = 2) \approx 0{,}2637 \qquad \text{b.2) } P(X \geq 1) \approx 0{,}7627}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es un experimento en dos etapas: primero el dado elige la caja y luego se saca la carta. Con un diagrama de árbol, la probabilidad de copas sale del teorema de la probabilidad total (sumar las ramas que acaban en copas) y la pregunta «sabiendo que es de copas, ¿de qué caja vino?» es el teorema de Bayes.

b) Cada salto es un ensayo independiente con dos resultados (acierta o no) y la misma probabilidad

p = 0{,}25

: el número de aciertos en 5 saltos sigue una binomial

B(5;\ 0{,}25)

. «Al menos una vez» se calcula mejor por el complementario:

1 - P(X = 0)

Desarrollo

a) Probabilidades de cada caja según el dado:

Caja A (resultado impar: 1, 3, 5): $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Caja B (resultado 4 o 6): $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Caja C (resultado 2): $P(C) = \frac{1}{6}$ .

Probabilidad de sacar copas (

Co

) en cada caja (todas tienen 5 cartas):

P(Co \mid A) = \frac{3}{5}, \qquad P(Co \mid B) = \frac{2}{5}, \qquad P(Co \mid C) = \frac{1}{5}

a.1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(Co) = P(A)\,P(Co \mid A) + P(B)\,P(Co \mid B) + P(C)\,P(Co \mid C) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5}

P(Co) = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} + \frac{1}{30} = \frac{9 + 4 + 1}{30} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \approx 0{,}4667

a.2) Por el teorema de Bayes:

P(B \mid Co) = \frac{P(B)\,P(Co \mid B)}{P(Co)} = \frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}}{\frac{7}{15}} = \frac{2/15}{7/15} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sea

X

= «número de veces que cae en el punto correcto en 5 saltos». Los saltos son independientes y en cada uno acierta con probabilidad

0{,}25

, así que

X \sim B(5;\ 0{,}25)

P(X = k) = \binom{5}{k}\,0{,}25^k\,0{,}75^{5-k}

b.1) Exactamente dos aciertos:

P(X = 2) = \binom{5}{2}\,0{,}25^2\,0{,}75^3 = 10\cdot 0{,}0625\cdot 0{,}421875 = 0{,}263671875 \approx 0{,}2637

que coincide con el valor de la tabla (

n = 5

k = 2

p = 0{,}25

).

b.2) Al menos un acierto, por el suceso contrario (ningún acierto):

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^5 = 1 - 0{,}2373 = 0{,}7627

(

P(X = 0) = 0{,}2373

también se lee directamente en la tabla.)

Consejo

En a) las cajas no son equiprobables: lo decide el dado (3, 2 y 1 caras de 6). Usar 1/3 para cada caja es el error típico y arrastra los dos apartados.

En la binomial, justifica por qué lo es (ensayos independientes, dos resultados, $p$ constante) y escribe $B(5;\ 0{,}25)$ . «Al menos uno» casi siempre se hace por el complementario.