Determinantes

a) Paso 1: saco el factor 2 de la segunda fila. Un factor común de una fila sale multiplicando al determinante:$$\begin{vmatrix} x + a & y + b & z + c \\ 2a & 2b & 2c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} x + a & y + b & z + c \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$Paso 2: descompongo la primera fila, que es una suma. Si una fila es suma de dos, el determinante es la suma de los dos determinantes:$$2\begin{vmatrix} x + a & y + b & z + c \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2\left(\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}\right)$$Paso 3. El primer determinante vale 1 (dato) y el segundo vale 0 porque tiene dos filas iguales:$$= 2\,(1 + 0) = 2$$(Otra forma: restar a la primera fila la segunda fila de la matriz ya simplificada no cambia el determinante: $F_1 - F_2$ convierte $(x + a,\ y + b,\ z + c)$ en $(x, y, z)$.)

b) La recta $s \equiv \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{-2}$ pasa por $(1, 1, 0)$ y tiene vector director $\vec{u} = (1, 1, -2)$. La recta pedida es paralela a $s$, así que tiene el mismo director, y pasa por $A(0, 1, 0)$:$$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{-2}$$o en paramétricas: $x = \lambda,\ y = 1 + \lambda,\ z = -2\lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$.

Además, $A$ no está en $s$ (sustituyendo: $\frac{0 - 1}{1} = -1$ pero $\frac{1 - 1}{1} = 0$), así que $r$ es paralela y distinta de $s$, no la misma recta.