Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2024 · Julio

Enunciado

a) [1 punto] Calcula el siguiente límite:

\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 2x}

.

b) En un mazo hay 40 cartas. De estas, 4 están marcadas solo con un punto verde, 5 solo con un punto rojo y 7 están marcadas con los dos puntos (verde y rojo).

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cartas sin reemplazamiento y que ambas tengan un punto verde?

b.2) [0,75 puntos] Si saco una carta y tiene un punto verde, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también un punto rojo?

En ambos apartados se considera que una carta tiene un punto verde si tiene solo un punto verde o también si tiene un punto verde y otro rojo.

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Resultado

\boxed{\text{a) } \lim_{x\to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+2x} = -\frac{5}{2}}

\boxed{\text{b.1) } \frac{11}{156} \approx 0{,}0705 \qquad \text{b.2) } \frac{7}{11} \approx 0{,}6364}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Al sustituir

x = -2

sale

\frac{0}{0}

: tanto el numerador como el denominador tienen el factor

(x + 2)

. Factorizo, simplifico y vuelvo a sustituir.

b) Lo primero es contar cuántas cartas tienen punto verde: las que solo tienen verde más las que tienen los dos,

4 + 7 = 11

. Con eso, b.1) es una extracción sin reemplazamiento (la segunda carta se saca de 39, con una verde menos) y b.2) es una probabilidad condicionada en la que el espacio se reduce a las 11 cartas verdes.

Desarrollo

a) Sustituyendo: numerador

(-8) + 8 - 2 + 2 = 0

y denominador

4 - 4 = 0

. Es una indeterminación

\frac{0}{0}

, así que

x = -2

es raíz de los dos polinomios. Factorizo sacando factor común por grupos:

x^3 + 2x^2 + x + 2 = x^2(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x^2 + 1), \qquad x^2 + 2x = x(x + 2)

\lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^2 + 1)}{x(x + 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{4 + 1}{-2} = -\frac{5}{2}

(Por L'Hôpital sale lo mismo:

\dfrac{3x^2 + 4x + 1}{2x + 2}

x = -2

vale

\dfrac{12 - 8 + 1}{-2} = -\dfrac{5}{2}

.)

b) Recuento del mazo de 40 cartas:

	Con punto rojo	Sin punto rojo	Total
Con punto verde	7	4	11
Sin punto verde	5	24	29
Total	12	28	40

Llamo

V

= «la carta tiene punto verde» y

R

= «la carta tiene punto rojo».

b.1) Sean

V_1

V_2

«la primera / segunda carta tiene punto verde». Sin reemplazamiento, tras sacar una verde quedan 39 cartas, de las que 10 son verdes:

P(V_1 \cap V_2) = P(V_1)\cdot P(V_2 \mid V_1) = \frac{11}{40}\cdot\frac{10}{39} = \frac{110}{1560} = \frac{11}{156} \approx 0{,}0705

b.2) Sabiendo que la carta tiene punto verde, el espacio se reduce a las 11 cartas verdes, de las que 7 tienen también punto rojo:

P(R \mid V) = \frac{P(R \cap V)}{P(V)} = \frac{7/40}{11/40} = \frac{7}{11} \approx 0{,}6364

Consejo

En b) la trampa está en contar las verdes: son $4 + 7 = 11$ , no 4. El propio enunciado lo avisa al final; léelo entero antes de empezar.

En una extracción sin reemplazamiento el segundo factor cambia (10 de 39). Y en el límite, indica la indeterminación $\frac{0}{0}$ antes de factorizar: la corrección lo valora.