Rectas y planos

a) Al girar $f(x) = x$ entre $x = 2$ y $x = 3$ alrededor del eje $X$:$$V = \pi \int_2^3 x^2\,dx = \pi \left[\frac{x^3}{3}\right]_2^3 = \pi\left(\frac{27}{3} - \frac{8}{3}\right) = \frac{19\pi}{3} \approx 19{,}90 \text{ u}^3$$(Es un tronco de cono de altura 1 y radios 2 y 3: $V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi}{3}(9 + 6 + 4) = \frac{19\pi}{3}$ ✓.)

b) Escribo el sistema formado por los tres planos:$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x + y + z = 2 \\ z = 0 \end{array}\right. \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$Rango de $M$. Las dos primeras columnas son iguales, así que $|M| = 0$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas 2 y 3) da $\operatorname{rg}(M) = 2$.

Rango de $M^*$. Tomo las columnas 1, 3 y 4:$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - 2) - 0 + 1\cdot(1 - 0) = -1 \neq 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{rg}(M^*) = 3$$Como $\operatorname{rg}(M) = 2 \neq \operatorname{rg}(M^*) = 3$, el sistema es incompatible: los tres planos no tienen ningún punto común.

Dos a dos. Los vectores normales son $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$, $\vec{n}_2 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_3 = (0, 0, 1)$. Ningún par es proporcional, así que no hay dos planos paralelos: cada par se corta en una recta.

Con rango 2 y 3 y sin planos paralelos, los planos se cortan dos a dos formando un prisma triangular (las tres rectas de corte son paralelas). Se comprueba con las direcciones de las rectas de corte:$$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1, -1, 0), \qquad \vec{n}_1 \times \vec{n}_3 = (1, -1, 0), \qquad \vec{n}_2 \times \vec{n}_3 = (1, -1, 0)$$Las tres rectas tienen la misma dirección. Por ejemplo, $\pi_1 \cap \pi_2$ es la recta $x + y = 1,\ z = 1$, paralela a $\pi_3 \equiv z = 0$ y sin cortarlo.