Determinantes

a) Sumo y resto 2 en el numerador para que aparezca el denominador:$$\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}$$Ahora las dos integrales son inmediatas (recuerda que $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg} x$):$$\int \frac{2x^2}{x^2 + 1}\,dx = \int 2\,dx - 2\int \frac{dx}{x^2 + 1} = 2x - 2\operatorname{arctg} x + C$$Comprobación: $\dfrac{d}{dx}\bigl(2x - 2\operatorname{arctg} x\bigr) = 2 - \dfrac{2}{1 + x^2} = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}$ ✓.

b) El determinante de $A$:$$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = a\cdot 1 - 2\cdot 0 = a$$El producto $A \cdot A$:$$A \cdot A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 2a + 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; |A \cdot A| = a^2\cdot 1 - (2a + 2)\cdot 0 = a^2$$que coincide con $|A|\cdot|A| = a \cdot a = a^2$, como dice la propiedad del determinante de un producto: $|B\cdot C| = |B|\cdot|C|$ para matrices cuadradas del mismo orden.

Producto de $n$ veces $A$. Aplicando esa propiedad repetidamente:$$|A^n| = |\underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n}| = |A \cdot A^{n-1}| = |A|\cdot|A^{n-1}| = \cdots = \underbrace{|A| \cdot |A| \cdots |A|}_{n} = |A|^n = a^n$$(Formalmente es una inducción: es cierto para $n = 1$ y $n = 2$, y si $|A^{n-1}| = a^{n-1}$, entonces $|A^n| = |A|\cdot|A^{n-1}| = a\cdot a^{n-1} = a^n$.)

También se ve directamente: $A$ es triangular superior, y el producto de triangulares superiores es triangular superior con diagonal el producto de las diagonales, así que $A^n = \begin{pmatrix} a^n & \ast \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y su determinante es $a^n \cdot 1 = a^n$.