Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Castilla-La Mancha · 2024 · Julio

Enunciado

Se quiere instalar un toldo que pase por el punto de coordenadas

A(2, 1, 1)

y que sea perpendicular a una barra metálica de ecuación

r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x - z = 1 \end{cases}

.

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que define el toldo.

b) [1,25 puntos] Si se quiere colocar un foco en el punto de coordenadas

F(2, -2, 1)

. ¿A qué distancia se encuentra del plano que define el toldo?

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Resultado

\boxed{\text{a) } \pi \equiv x + 3y + z - 6 = 0}

\boxed{\text{b) } d(F, \pi) = \frac{9}{\sqrt{11}} = \frac{9\sqrt{11}}{11} \approx 2{,}71 \text{ u}}

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Estrategia

Un plano perpendicular a una recta tiene como vector normal el vector director de la recta. La recta viene dada como corte de dos planos, así que su vector director es el producto vectorial de los dos vectores normales. Con ese normal y el punto

A

queda el plano.

Para b) basta la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

d(F, \pi) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Desarrollo

a) Los vectores normales de los dos planos que definen

r

son

\vec{n}_1 = (2, -1, 1)

\vec{n}_2 = (1, 0, -1)

. El vector director de

r

es perpendicular a ambos:

\vec{u}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \bigl((-1)(-1) - 1\cdot 0\bigr)\vec{i} - \bigl(2\cdot(-1) - 1\cdot 1\bigr)\vec{j} + \bigl(2\cdot 0 - (-1)\cdot 1\bigr)\vec{k} = (1, 3, 1)

El plano

\pi

del toldo es perpendicular a

r

, así que su vector normal es

\vec{n}_\pi = \vec{u}_r = (1, 3, 1)

\pi \equiv x + 3y + z + d = 0

Como pasa por

A(2, 1, 1)

2 + 3 + 1 + d = 0 \Rightarrow d = -6

\pi \equiv x + 3y + z - 6 = 0

(Comprobación:

A

cumple

2 + 3 + 1 = 6

, y

(1, 3, 1)

es ortogonal a

\vec{n}_1

\vec{n}_2

, porque

2 - 3 + 1 = 0

1 + 0 - 1 = 0

.)

b) Distancia de

F(2, -2, 1)

\pi

d(F, \pi) = \frac{|2 + 3\cdot(-2) + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|-9|}{\sqrt{11}} = \frac{9}{\sqrt{11}} = \frac{9\sqrt{11}}{11} \approx 2{,}71 \text{ u}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con el signo de la componente $\vec{j}$ del producto vectorial: va restando. Un error ahí cambia el plano entero.

No confundas «plano perpendicular a la recta» (normal = director) con «plano que contiene a la recta». Y en la distancia, no olvides el valor absoluto ni las unidades.