Sistemas de ecuaciones

a) Sean $x$, $y$, $z$ los helados vendidos de una, dos y tres bolas, respectivamente.

• Se han vendido 157 helados: $x + y + z = 157$.
• Se han recaudado 278 euros (1, 2 y 3 euros cada uno): $x + 2y + 3z = 278$.
• Los de una bola son $k$ veces los de tres: $x = kz$, es decir, $x - kz = 0$.

$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 157 \\ x + 2y + 3z = 278 \\ x - kz = 0 \end{array}\right. \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -k \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 157 \\ 1 & 2 & 3 & 278 \\ 1 & 0 & -k & 0 \end{array}\right)$$b) Calculo el determinante de la matriz de coeficientes desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\cdot(2\cdot(-k) - 3\cdot 0) - 1\cdot(1\cdot(-k) - 3\cdot 1) + 1\cdot(1\cdot 0 - 2\cdot 1) = -2k + k + 3 - 2 = 1 - k$$Así, $|A| = 0 \iff k = 1$.

Caso $k \neq 1$ (con $k > 0$). $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado, solución única.

Caso $k = 1$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, el menor de las columnas 1, 2 y 4:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 157 \\ 1 & 2 & 278 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 157 \\ 2 & 278 \end{vmatrix} = 278 - 314 = -36 \neq 0$$(desarrollando por la tercera fila), así que $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)$: sistema incompatible.

Por tanto, el sistema tiene solución única para $k \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

¿Pueden coincidir los helados de una y de tres bolas? Que coincidan significa $x = z$. Como $x = kz$, eso obliga a $kz = z$, es decir, $(k - 1)z = 0$:

• o bien $k = 1$, que no es un caso de solución única (el sistema es incompatible);
• o bien $z = 0$, y entonces $x = 0$; pero las dos primeras ecuaciones darían $y = 157$ y $2y = 278$, es decir, $y = 139$: contradicción.

Así que no es posible: en ninguno de los casos con solución única se venden tantos helados de una bola como de tres.

Si queremos verlo con la solución: restando la primera ecuación a la segunda queda $y + 2z = 121$, y llevándolo a la primera con $x = kz$:$$kz + (121 - 2z) + z = 157 \;\Rightarrow\; (k - 1)\,z = 36 \;\Rightarrow\; z = \frac{36}{k - 1}, \quad x = \frac{36k}{k - 1}, \quad y = 121 - \frac{72}{k - 1}$$Como $x = k z$ con $z \neq 0$ (vale $36/(k-1)$, nunca cero), $x = z$ solo podría darse con $k = 1$, que no tiene solución. Por ejemplo, con $k = 4$ salen $x = 48$, $y = 97$, $z = 12$ (comprobación: $48 + 97 + 12 = 157$ y $48 + 194 + 36 = 278$). Observa también que, para que el número de helados sea positivo, en la práctica hace falta $k > 1$.