Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) [1 punto]

El plano buscado ha de ser perpendicular al vector $\overrightarrow{AB} = (-3, -2, 3) - (1, 2, 3) = (-4, -4, 0) \sim (1, 1, 0)$; por tanto, tiene una ecuación de la forma $x + y + 0z + D = 0$. Además, ha de pasar por el punto medio $\dfrac{1}{2}(A + B) = (-1, 0, 3)$; por tanto, $-1 + D = 0$ y se trata del plano de ecuación $x + y + 1 = 0$.

Geométricamente es claro que este plano $\pi$ está formado precisamente por los puntos a igual distancia de $A$ que de $B$. Efectivamente, para un punto arbitrario $P = (x, y, z)$, la ecuación $d(P, A) = d(P, B)$ es equivalente a$$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2},$$$$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z + 9,$$$$-2x + 1 - 4y = 6x + 9 + 4y,$$$$-8x - 8y - 8 = 0,$$que, simplificándola, es precisamente la ecuación del plano $\pi$, $x + y + 1 = 0$.

b) [0,75 puntos]

Usando la fórmula de la distancia punto-plano, tenemos$$d(A, \pi) = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}, \qquad d(B, \pi) = \frac{|-3 - 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}.$$No es casualidad que dé el mismo resultado: las proyecciones ortogonales de $A$ y de $B$ sobre el plano $\pi$ son, precisamente, el punto medio $\dfrac{1}{2}(A + B) = (-1, 0, 3)$ por donde hemos hecho pasar el plano $\pi$, perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$.

c) [0,75 puntos]

El punto $C = (-7, 6, 3)$ cumple $-7 + 6 + 1 = 0$ y, por tanto, pertenece al plano $\pi$ del apartado anterior. Esto quiere decir que $d(C, A) = d(C, B)$ y, por tanto, el triángulo $ABC$ tiene al menos dos lados iguales; por tanto, es isósceles.

Para calcular su área solo necesitamos la longitud de la base, $d(A, B) = 2\,\dfrac{4}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$, y su altura, que es la distancia de $C$ al punto medio entre $A$ y $B$:$$h = d\big((-7, 6, 3), (-1, 0, 3)\big) = \sqrt{6^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$$Por tanto, el triángulo $ABC$ tiene área$$\text{Área} = \frac{4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2} = 24\ u^2.$$Criterios de corrección:

• a) Cuente 0,5 p. por calcular la ecuación del plano $\pi$ y 0,5 p. por justificar que se trata exactamente de los puntos equidistantes de $A$ y de $B$.
• b) Cuente 0,25 p. por calcular las dos distancias y 0,5 p. por reconocer que no es casualidad y explicar el motivo por el cual son iguales.
• c) Cuente 0,25 p. por razonar que el triángulo es isósceles, 0,25 p. por calcular la altura y 0,25 p. por calcular la longitud de la base y el área final.

Comentarios: Pueden argumentar que el triángulo es isósceles calculando directamente la longitud de los tres lados y viendo que dos coinciden; cuéntelo bien si lo hacen así, en la medida en que lo que hagan sea correcto y esté bien argumentado.